Найти предел

[nevero]

Извиняюсь, но за всеми этими рассуждениями я несколько потерялся...

[ewert]

nevero в сообщении #371888 писал(а):

за всеми этими рассуждениями я несколько потерялся...

Ну так найдитесь -- и для начала

ewert в сообщении #371757 писал(а):

Представьте степень косинуса как экспоненту

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #371834 писал(а):

А как Вы представляете элементарное доказательство своей оценки?

нелюбимым ewert'ом правилом Лопиталя

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #371892 писал(а):

ewert в сообщении #371834 писал(а):

А как Вы представляете элементарное доказательство своей оценки?

нелюбимым ewert'ом правилом Лопиталя]

Совершенно верно -- ровно так, с помощью правила Лопиталя, общая формула Тейлора (с остатком Пеано) стандартно и доказывается. Так нужно ли вдобавок к этому доказывать её ещё и отдельно для каждой конкретной формулы?...

[nevero]

То есть:
$\cos\frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3})$
$\ln(\cos\frac{1}{n}) = \ln(1 + (- \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3})) = - \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))$
Тогда:
$e^{n+ \ln(n)+2n^3 \ln(\cos\frac{1}{n})} = e^{\ln(n)} = n$
Это правильно?

[paha]

nevero в сообщении #371989 писал(а):

то правильно?

нет

[nevero]

paha в сообщении #371990 писал(а):

нет

А в чём ошибка?

[ИСН]

paha, а что не так-то в последней строчке, кроме того, что о-малые пропущены?

[ewert]

nevero в сообщении #371989 писал(а):

Тогда:
$e^{n+ \ln(n)+2n^3 \ln(\cos\frac{1}{n})} = e^{\ln(n)} = n$
Это правильно?

Неверно, т.к. остаточные члены так просто выбрасывать нельзя -- их надо отслеживать. Кроме того, в таком виде у Вас ничего не выйдет: Вы слишком грубо оценили остаток в формуле для логарифма.

[nevero]

То есть я имел ввиду:

nevero в сообщении #371989 писал(а):

$e^{n+ \ln(n)+2n^3 \ln(\cos\frac{1}{n})} \to e^{\ln(n)} = n$

[paha]

ИСН
во-первых -- пропущены, во-вторых в логарифме $o(n^{-3})$ загадочно превратилось в $o(n^{-2})$... а пренебрегать $n^3\cdot o(n^{-2})$ по сравнению с $\ln{n}$ как-то невместно

[ewert]

ИСН в сообщении #372012 писал(а):

а что не так-то в последней строчке, кроме того, что о-малые пропущены?

Вот именно это и плохо, решение формально неверно. Т.е. из того, что было написано в предыдущей строчке -- окончательный результат не следует (фактически не следует -- уж не говоря о формальной неверности самой записи).

[nevero]

ewert в сообщении #372015 писал(а):

Вы слишком грубо оценили остаток в формуле для логарифма.

Да, но:
$\ln(\cos\frac{1}{n}) = \ln(1 + (- \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3})) = - \frac{1}{2n^2}+o(- \frac{1}{n^3})) + o(\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3}))) = - \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))$

[ewert]

nevero в сообщении #372025 писал(а):

ewert в сообщении #372015 писал(а):

Вы слишком грубо оценили остаток в формуле для логарифма.

Да, но:
$\ln(\cos\frac{1}{n}) = \ln(1 + (- \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3})) = - \frac{1}{2n^2}+o(- \frac{1}{n^3})) + o(\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3}))) = - \frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))$

Читайте внимательнее: я не говорил, что именно это место неверно (оно формально правильно) -- я говорил, что это не поможет. При подстановке в экспоненту дальше ничего не выйдет.

Прекрасная иллюстрация того, насколько вредно употреблять символ "о-маленькое". Плюньте на него и пользуйтесь "О-большим", как все нормальные люди.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Кстати, чем они отличаются?