Значение Пи - математический или эмпирический факт?

[AlexDem]

Как известно, значение $\pi$ можно получить как геометрически - измеряя отношение длины окружности к ее диаметру, или математически - на основе рядов:

$$\frac 2 \pi = \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {\sqrt{2 + \sqrt{2}}} 2 \frac {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} 2 ...$$

$$\frac \pi 4 = \frac 1 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 ...$$

Если бы мы находились в неевклидовом пространстве и проводили в нем измерения, отношение длины окружности к ее диаметру для нас было бы иным. В связи с чем возникает вопрос - почему указанные выше ряды стремятся к значению $\pi$ на плоскости?

Вообще-то второй ряд сходится условно и его сумма может быть любой. Но что можно сказать о первом ряде? И есть ли еще в математике какие-либо способы вычисления $\pi$, не связанные с тригонометрией и условно сходящимися рядами?

[Someone]

AlexDem писал(а):

В связи с чем возникает вопрос - почему указанные выше ряды стремятся к значению $\pi$ на плоскости?

Потому что они строились именно для этой цели. А в пространстве Лобачевского отношение длины окружности к диаметру не является постоянной величиной, так что там никакого специфического числа $\pi$ нет. Зато предел этого отношения, когда диаметр стремится к нулю, как раз и даёт $\pi$ для плоскости.

AlexDem писал(а):

Вообще-то второй ряд сходится условно и его сумма может быть любой.

Нет, сумма у него только одна. Вы, вероятно, имели в виду теорему о перестановке членов условно сходящегося ряда? Но ведь при перестановке членов получается другой ряд!

AlexDem писал(а):

И есть ли еще в математике какие-либо способы вычисления $\pi$, не связанные с тригонометрией и условно сходящимися рядами?

Есть и абсолютно сходящиеся ряды. Например:

$$\pi=2\sqrt{3}\left(1-\frac 1{3\cdot 3}+\frac 1{5\cdot 3^2}-\frac 1{7\cdot 3^3}+\ldots+\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)\cdot 3^{k-1}}+\ldots\right)$$

.
Или формула Мэшина:

$$\pi=16\left(\frac 15-\frac 1{3\cdot 5^3}+\frac 1{5\cdot 5^5}-\frac 1{7\cdot 5^7}+\frac 1{9\cdot 5^9}-\frac 1{11\cdot 5^{11}}+\ldots\right)-4\left(\frac 1{239}-\frac 1{3\cdot 239^3}+\ldots\right)$$

.
Выписанные в последней формуле члены дают значение $\pi$ с семью правильными цифрами после запятой.

Большую подборку формул найдёте тут: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html.

[AlexDem]

Цитата:

Потому что они строились именно для этой цели.

Если ряд дает именно точное (в пределе), а не приближенное значение $\pi$ - одного из континуума чисел, то вероятность найти такой ряд (тем более - такой простой) стремится к нулю. Чувствуется наличие какого-то закона. Если бы $\pi$ отличалось от существующего на 1 в какой-нибудь 999 цифре после запятой, можно ли было придумать аналогичный ряд для его представления?

Цитата:

А в пространстве Лобачевского отношение длины окружности к диаметру не является постоянной величиной, так что там никакого специфического числа $\pi$ нет.

Да терзают тут смутные сомнения... А что если неверно рассматривать пространство как резиновый коврик? Собственно и вопрос возник как раз по этому поводу.

Цитата:

Нет, сумма у него только одна. Вы, вероятно, имели в виду теорему о перестановке членов условно сходящегося ряда? Но ведь при перестановке членов получается другой ряд!

Да, именно это я и имелл ввиду.
Спасибо за ссылки!

[Someone]

AlexDem писал(а):

Если ряд дает именно точное (в пределе), а не приближенное значение $\pi$ - одного из континуума чисел, то вероятность найти такой ряд (тем более - такой простой) стремится к нулю.

Изучайте математический анализ, в частности, теорию рядов. Там узнаете, что такие ряды никто наугад не ищет. В частности, приведённые мной ряды для числа $\pi$ получаются из разложения в степенной ряд

$$\arctg x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\ldots+(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+\ldots$$

при $-1\leqslant x\leqslant 1$.

Тот ряд, который Вы привели, получается при $x=1$, так как $\frac{\pi}4=\arctg 1$.

Приведённые мной ряды получаются из соотношений $\frac{\pi}6=\arctg\frac 1{\sqrt{3}}$ и $\frac{\pi}4=4\arctg\frac 15-\arctg\frac 1{239}$.

[Otez-osnovatel]

Есть объяснение - http://radmar.narod.ru/radmar6.htm#ne8
Но только непонятно будет, завсегдатаи вам объяснят почему

[AlexDem]

Otez-osnovatel, а вот понятно ли будет Вам?..

Рассмотрим тогда пространство Лобачевского и конструкцию:

$$\frac \pi 4 = \frac 1 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 ...$$

Как было выяснено, этот ряд получается из разложения в ряд Тейлора функции $\arctg x$ при $x = 1$ и $x_0 = 0$.

Во-первых, мы можем сказать, что отношение длины окружности к диаметру в пространстве Лобачевского всегда больше (или равно) "плоскому" $\pi$, также как и отношение катетов в прямоугольном треугольнике $a / b = \tg \alpha = 1$ при величине угла $\alpha < \pi / 4$. Поэтому приведенный выше ряд как значение $\arctg 1$ выражает в пространстве Лобачевского не $\pi / 4$, а скажем $\pi / 4.3456$ или $\pi / 4.9876$. То есть мы должны будем записать примерно следующее:

$$\frac \pi {4.3456} = \frac 1 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 ...$$

А во-вторых, посмотрим повнимательнее на формулу ряда Тейлора:

$$f(x) = f(x_0) + \frac {f'(x_0)} {1!} (x - x_0)^1 + \frac {f''(x_0)} {2!} (x - x_0)^2 + \frac {f'''(x_0)} {3!} (x - x_0)^3 + ...$$

Мы видим производные, геометрический смысл которых - тангенс угла наклона касательной. А в пространстве Лобачевского касательная будет убегать от графика быстрее, чем в евклидовом, следовательно - пересечет ось $X$ под несколько бОльшим углом. Фактически мы здесь выражаем величину одного угла через величину другого, и я сильно подозреваю, что сумма ряда в пространстве Лобачевского, как и в любом другом, всегда будет равна $\pi / 4$, только вот величина $\pi$ изменится. Также изменится вид функций тангенса, синуса и, похоже, - всех других. А отношение длины окружности к ее диаметру всегда будет равно $\pi$, просто само значение $\pi$ будет иным, но мы этого не заметим.

Как видно, два приведенных подхода противоречат друг другу, но какой из них верен? Первый справедлив, если Пи - математический, а второй - эмпирический феномен.

[Macavity]

AlexDem писал(а):

Если бы мы находились в неевклидовом пространстве и проводили в нем измерения, отношение длины окружности к ее диаметру для нас было бы иным.

Какой бы способ Вы не использовали, точно число $\pi$ посчитать бы не удалось. Но если в некотором пространсте это число (отношение длины окружности к ее диаметру или через площадь круга) величина постоянная, то имея аналитическую формулу "круга" можно получить оценку $\pi$ методом Монте-Карло.

[бобыль]

Тут на форуме уже упоминалась задача Чебышева "Какова вероятность того, что наудачу выбранная дробь несократима?", ответ в которой $\frac{6}{\pi^2}$. В 1995 г. один программист использовал эту формулу для вычисления $\pi$ из наблюдательных данных и написал письмо "Pi in the sky" в Nature.

http://ourworld.compuserve.com/homepages/rajm/pinature.htm

И что примечательно, у него получилось 3.12777, т.е. заметно меньше $\pi$. Интересно, почему?

[AlexDem]

А у меня вот получается, что должно быть $\pi = 2 \sqrt e$, т.е. несколько больше. Но я пока не уверен, что здесь нет ошибки - может кто все-таки посоветует литературу по поводу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=36874, а то что-то совсем никаких идей нет...

[бобыль]

Тогда уж две золотых пропорции 1.618... .

А как эта тема связана с указанной ссылкой? Через циклы?

[AlexDem]

Цитата:

А как эта тема связана с указанной ссылкой? Через циклы?

Угу, гиперсвязные циклы в трансцендентальном пространстве ))
В общем-то связь очевидна - ведь там рассматривается топологическое пространство, и здесь мы говорим о пространстве.

[Macavity]

бобыль писал(а):

Тут на форуме уже упоминалась задача Чебышева "Какова вероятность того, что наудачу выбранная дробь несократима?", ответ в которой $\frac{6}{\pi^2}$. В 1995 г. один программист использовал эту формулу для вычисления $\pi$ из наблюдательных данных и написал письмо "Pi in the sky" в Nature.

http://ourworld.compuserve.com/homepages/rajm/pinature.htm

И что примечательно, у него получилось 3.12777, т.е. заметно меньше $\pi$. Интересно, почему?

Ну надо же. Искривление пространства?

У меня методом Монте-Карло получается что-то около 3.14156112

[AlexDem]

Цитата:

Тут на форуме уже упоминалась задача Чебышева "Какова вероятность того, что наудачу выбранная дробь несократима?"

Да, именно такие задачи как Чебышева http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3761 и говорят в пользу математического происхождения Пи. Кстати, тут http://www.ega-math.narod.ru/Rama/Rama3.htm сказано, что $6/\pi^2$ есть вероятность того, что случайное целое число не имеет повторяющихся простых делителей. Эквивалентны ли эти две задачи - не знаю.

Цитата:

У меня методом Монте-Карло получается что-то около 3.14156112

Это доказывает, что наша математика создавалась в нашем физическом пространстве? Интересно, живи мы в пространстве Лобачевского, была бы математика существенно иной? И так ли уж сильно математика не зависит от физики?..

[ИСН]

Да, доказывает. (Правда, доказательство слабое - точность монтекарловского приближения числа пи невелика, гораздо лучше померить сумму углов треугольника космических размеров; по-моему, делалось и это.)
И уж конечно, в другом пространстве математика (ну, по крайней мере геометрия) была бы существенно иной.

[M214]

Мне кажется что величина Пи зависит только от определения этого самого числа, поэтому оно может быть как константой, так и переменной величиной. Пример: если определить Пи как площадь круга единичного радиуса, то эта величина будет существенно зависеть от метрики пространства, в котором рассматривается круг. В то же время это число не будет иметь отношения к рядам, наподобии указанных. По-моему мы говорим не об одном и том же числе, в этом и парадоксы.

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

ИСН писал(а):

И уж конечно, в другом пространстве математика (ну, по крайней мере геометрия) была бы существенно иной.

В таком случае что дает нам право исследовать многообразия с использованием единого математического аппарата, если в разных пространствах разная математика?