Значение Пи - математический или эмпирический факт?

[бобыль]

Вот формула Кеплера для длины эллипса: $L = 2\pi\sqrt{ab}$. Для круга она точная, а для эллипса - приближенная. Спрашивается, что мешает нам считать эту формулу всегда точной, а $\pi$ переменным?

[Macavity]

AlexDem писал(а):

Цитата:

У меня методом Монте-Карло получается что-то около 3.14156112

Это доказывает, что наша математика создавалась в нашем физическом пространстве? Интересно, живи мы в пространстве Лобачевского, была бы математика существенно иной? И так ли уж сильно математика не зависит от физики?..

Я взял квадрант системы координат с положительными x и y. И стал в него метать случайные точки (с равномерным распределением на отрезке [0;1]). А затем проверять выполнимость для каждой точки неравенства x^2+y^2<1. Отношение количества точек удовлетворяющих неравенству к общему количеству кинутых точек должно быть равно четвертой части числа пи, согласно формуле круга, площадь , которого оценивается (радиус равен 1).

На самом деле, круг это множество точек находящихся на растоянии не более заданного (радиус) от выбранной точки (центр круга). Однако в формуле x^2+y^2<1 считается, что пространство евклидово ( (dl)^2=(dx)^2+(dy)^2 ). Если бы пространство имело бы неевклидову метрику, то и результат был бы другим (и не факт, что был бы постоянным вне зависимости от выбранного круга).

Ответ, который я указал, это ответ одного из экспериментов и при каждом эксперименте, он несколько отличается (примерная точность три знака после запятой). Для одного эксперимента использовалось 50000000 точек.

Что касается нашего мира, то локально (в наших человеческих размерах, радиус Земли, возможно Солнечной системы) его можно считать евклидовым, по крайней мере в пределах точности измерений.

Для больших масс его таким считать нельзя, как показал Эйнштейн. Для микрочастиц, тоже нельзя считать таким, некоторые теории рассматривают размерности до 11. Для очень больших расстояний, то есть если у всей Вселенной своя кривизна, как будто бы ответ пока - нет (но он абсолютно неокончателен - то что астрономы видят на краю вселенной это состояние пространства ранней Вселенной, а вот какое оно там сейчас - неизвестно, свет пока не дошел).

[ИСН]

M214 писал(а):

В таком случае что дает нам право исследовать многообразия с использованием единого математического аппарата, если в разных пространствах разная математика?

Я не так сказал. В неввклидовом пространстве у нас было бы что-то другое вместо "Начал" Евклида. Со временем была бы открыта евклидова геометрия (в виде игры ума), ну и наконец пришли бы примерно к той математике, которая есть у нас теперь.

[Macavity]

ИСН писал(а):

M214 писал(а):

В таком случае что дает нам право исследовать многообразия с использованием единого математического аппарата, если в разных пространствах разная математика?

Я не так сказал. В неввклидовом пространстве у нас было бы что-то другое вместо "Начал" Евклида. Со временем была бы открыта евклидова геометрия (в виде игры ума), ну и наконец пришли бы примерно к той математике, которая есть у нас теперь.

Вполне возможно, что были бы теже "Начала", но с измененной одной из аксиом... И значит с другими теоремами...

[ИСН]

Ну, можно сказать и так.

[AlexDem]

Живи мы в римановом пространстве, возникло бы ли вообще понятие бесконечности? У нас сейчас евклидовы числовые оси, а в римановом пространстве чем бы они были - окружностями?

[AndAll]

ИСН писал(а):

(...гораздо лучше померить сумму углов треугольника космических размеров; по-моему, делалось и это.)

Интересно, каким образом?

[бобыль]

В одной книге написано, что российское пространство в широком смысле неевклидово - оно Лобачевского, тогда как европейское пространство - евклидово. Есть ли в этой мысли хоть какой-то, пусть минимальный, смысл?

[AlexDem]

Так а пространство чего? Насчет ментального пространства, я бы, пожалуй, согласился Если в нормальных странах порядок есть порядок, то у нас почему-то из каждой точки принятия решения - следовать ему или нет - существует множество траекторий, каждая из которых в общем-то этот порядок нарушает не сильно, можно сказать - субъект относится к этому порядку "параллельно" (в смысле - начхал), но в итоге получается такой разброд, что без постоянного начальственного пинка ситуация никак не может войти в нормальное русло.

Если в экономическом - то как связи между субъектами соотнести с топологией или геометрией я пока не разобрался. И, судя по ответам на указанное в начале обсуждение, все будет не так просто.

А вообще - если бы автор той книги говорил серьезно, то хоть немного бы раскрыл смысл того, что он имеет ввиду...

[бобыль]

Почему-то в другой теме никто не оценил мою мысль про $\pi$ московское. Обратите внимание, оно не больше, а меньше 3.14.

бобыль писал(а):

Рассмотрим число $\pi$ и три его оценки, которые напрашиваются: $3\frac{1}{6}$, $3\frac{1}{7}$ и $3\frac{1}{8}$ - оценки сверху, посередине и снизу соответственно. Можно сказать, что приближение $3\frac{1}{6}$, известное еще древним египтянам, - это $\pi$ египетское, а $3\frac{1}{7}$, известное еще древним грекам, - это $\pi$ греческое. Тогда, спрашивается, $3\frac{1}{8}$ - это $\pi$ чье? Я предлагаю называть его - $\pi$ московское. Есть возражения?

Рассмотрим древнюю Московию в пределах Московской кольцевой автодороги, имеющей форму овала (эллипса, вытянутого почти по меридиану) длиной $P = 100$ верст и площадью $S = 800$ кв. верст. (Отметим на всякий случай, что сплюснутость эллипса равна 2/3 или, что практически то же самое, отношение его осей равно 3/4.) Полагая приближенно $S = (0.5 P)^2/\pi$, получаем как раз $\pi = 2500/800 = 3\frac{1}{8}$. Историческая величина московской версты может меняться, важнее, чтобы $\pi$ сохранялось. Нехорошо только, что запись $3\frac{1}{8} = 3.125$ состоит из чисел Фибоначчи...

[AlexDem]

А есть ли основания утверждать, что древнюю Московию строили исходя из значения $\pi$, или это чисто случайное совпадение?

В любом случае, ничего не изменится, если термин "$\pi$ московское" будут употреблять только читатели этого форума. Вот если бы выяснилась какая-то уникальная особенность этого числа...

[AlexDem]

Otez-osnovatel:

Цитата:

Есть объяснение - http://radmar.narod.ru/radmar6.htm#ne8
Но только непонятно будет, завсегдатаи вам объяснят почему

Возможно, Ваша реплика была связана вот с этим http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=2427&postdays=0&postorder=asc&start=30 обсуждением?

Вот эта вот цитата оттуда:

Цитата:

Otez-osnovatel to bot: <...> Например, в рамках формальной логики теорема Геделя о неполноте формализованных систем верна, а в диалектической логике она является ошибочным утверждением.

bot to Otez-osnovatel: <...> Вот и будете получать что-то типа:
Он, конечно, виноват, но он не виноват! (с) Берегись автомобиля.

- мне не кажется абсурдной, потому что я, похоже, пришел вот к такой же именно логике "Он, конечно, виноват, но он не виноват!" совершенно другим путем (он, по крайней мере, с претензией на формальность). И хотя ни за что ручаться не могу (да и не хочу пока) - т.к. то же Пи у меня не получается равным 3.14 даже приблизительно, однако сам подход выглядит очень правдоподобно, и есть основания полагать, что квантовая теория описывает в чем-то подобную логику (если это вообще можно назвать логикой).

Хотя, соглашусь с остальными, читать текст, написанный в Вашем стиле, - это требует существенного времени и сил, так что прочитать саму работу я не отважился, и мое высказывание относится только к приведенной цитате.

[Otez-osnovatel]

AlexDem писал(а):

Хотя, соглашусь с остальными, читать текст, написанный в Вашем стиле, - это требует существенного времени и сил, так что прочитать саму работу я не отважился, и мое высказывание относится только к приведенной цитате.

Вы ошибаетесь - это НЕ стиль, это чистая диалектика. А трудна всего лишь потому, что все рефлекторно думают в рамках аксиоматизированных понятий формальной логики. Тогда как мой текст написан исключительно обоснованными и доказательными определениями, и вот это в первую очередь и недоступно к пониманию ограниченному формальной логикой мышлению. Различие между понятием и определением пока что не знают даже некоторые преподаватели математики в вузах. Подискутировал с одним в привате (это было его условием), поэтому говорю со знанием дела.

[бобыль]

Продолжу о числе пи, тема-то о нем.

Рассмотрим цилиндр массой m, диаметром d и высотой тоже d, изготовленный из сплава плотностью s = ap + bq. Все это величины размерные, и их можно померить, чтобы вычислить пи:

$\pi = 4md^{-3}s^{-1}.$

Возьмем для примера эталон массы в нормальных условиях с его

m = 1 кг точно,
d = 39 мм,
p = 21 450 кг/кубометр (Pt),
q = 22 420 кг/кубометр (Ir),
a = 90 %, b = 10 %.

И получим, что пи = 3.1295... < 3.14.

[Otez-osnovatel]

3.1295... - это не число пи, это новое открытие в математике - число би поскольку число пи - это показатель отношения длины окружности к её диаметру, и потому все иные числа не могут быть оным, так как плотность может быть и s=&a+\|/*эЪ,ёпрст, а вообще, сколько надо, столько формул плотности и приведу
А вообще, все иные приемы поиска числа пи кроме отношения длины окружности к диаметру являются досужим упражнением.