2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 
Сообщение27.10.2006, 14:33 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Otez-osnovatel писал(а):
А вообще, все иные приемы поиска числа пи кроме отношения длины окружности к диаметру являются досужим упражнением.

Эталон массы имеет вид цилиндра - с круговым основанием. Отсюда пи. И никаких досужих упражнений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2006, 15:35 


07/01/06
173
Минск
бобыль писал(а):
Продолжу о числе пи, тема-то о нем.

Рассмотрим цилиндр массой m, диаметром d и высотой тоже d, изготовленный из сплава плотностью s = ap + bq.


Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.
Otez-osnovatel здесь прав.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2006, 15:57 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
AndAll писал(а):
Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.

Нет, не уверен. Но отношу возможную ошибку к погрешностям вычислений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2006, 17:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Цитата:
Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.

$V = S * h$ - объем цилиндра высоты h, где
$S = \pi R^2 = \pi d^2 / 4$

Откуда объем цилиндра при h = d:
$V = (\pi d^2 / 4) * d = \pi d^3 / 4$

Отсюда Пи:
$\pi = 4 V / d^3$

В то же время из элементарной физики:
$m = s * V$, где s - плотность

Заменяя объем в предыдущей формуле на $V = m / s$:
$\pi = 4 V / d^3 = 4 m / (d^3 s)$,

что и записал бобыль. Иная плотность даст иную массу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2006, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
бобыль писал(а):
m = 1 кг точно,
d = 39 мм,
p = 21 450 кг/кубометр (Pt),
q = 22 420 кг/кубометр (Ir),
a = 90 %, b = 10 %.

И получим, что пи = 3.1295... < 3.14.


А с какой точностью Вы хотите получить число $\pi$, задавая диаметр с двумя значащими цифрами?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.10.2006, 21:46 


07/01/06
173
Минск
AlexDem писал(а):
Цитата:
Вы уверены, что эта формула для сплава верна? Для "слива" воды со спиртом она, кажется, не работает.

$V = S * h$ - объем цилиндра высоты h, где
$S = \pi R^2 = \pi d^2 / 4$

Откуда объем цилиндра при h = d:
$V = (\pi d^2 / 4) * d = \pi d^3 / 4$

Отсюда Пи:
$\pi = 4 V / d^3$

В то же время из элементарной физики:
$m = s * V$, где s - плотность

Заменяя объем в предыдущей формуле на $V = m / s$:



$\pi = 4 V / d^3 = 4 m / (d^3 s)$,

что и записал бобыль. Иная плотность даст иную массу.


К Вашим формулам претензий нет. В сообщении ясно сказано, к какой именно формуле претензии.
10 % и 90% вероятнее всего весовых, точнее «массовых» частей, но никак не плотностных. Поэтому,

$\begin{gathered}
  \rho _i  = \frac{{m_i }}
{{V_i }}, \hfill \\
  \rho  = \frac{{am_1  + bm_2 }}
{{\frac{{am_1 }}
{{\rho _1 }} + \frac{{am_2 }}
{{\rho _2 }}}} = \frac{{\rho _1 \rho _2 \left( {am_1  + bm_2 } \right)}}
{{a\rho _2 m_1  + b\rho _1 m_2 }} \ne a\rho _1  + b\rho _2  \hfill \\ 
\end{gathered} $

если только $\rho _1  \ne \rho _2 $ или $a \ne 0$ или $b \ne 0$.

Если объемных частей, что маловероятно, то проделайте все сами и убедитесь, что тоже неверно.
Вообще-то я говорил о том, что даже суммарный объем при сплаве может не сохраняться.
Естественно, точность вычислений на совести автора (вычислений).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.10.2006, 10:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
AndAll, да Вы правы - невнимательно прочитал посты. Плотности, конечно, не складываются, а усредняются. Торжественно обещаю впредь читать сообщения более внимательно :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 17:03 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Someone писал(а):
А с какой точностью Вы хотите получить число , задавая диаметр с двумя значащими цифрами?

Да, верно, плотность s входит в формулу в степени -1, а диаметр d в ней в степени -3, поэтому точность связана с ним сильнее, и уже при d = 38.95 мм (вместо 39 мм) получаем пи > 3.14 (а было < 3.14). Данные, однако, я не выдумал, а взял как есть, поэтому считаю их точными, без всякой погрешности. Так вот, пи по этим данным могло получиться больше или меньше 3.14, а получилось все-таки меньше. И это факт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 18:36 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Факт в том, что, похоже, Вами (и мной) была допущена ощибка при расчете плотности :) Так что это какой-то ложный факт :)

Берем $0.5\ kg$ рыхлой ваты (допустим, плотностю $10\ kg/m^3$), и столько же воды ($1000\ kg/m^3$).

В итоге, при условии сохранения объема, мы не получим плотность $505\ kg/m^3$, а гораздо меньше, поскольку объем этой ваты изначально был много больше, чем объем воды. И вода распределяется по в 100 раз большему объему: $0.0505\ m^3$, а изначально она занимала $0.0005\ m^3$.

Как почти правильно записал AndAll, формула для эталона будет такая:
$$\frac {m_1 + m_2} {V_1 + V_2} = \frac {a + b} {a/p + b/q} = \frac {pq} {aq + bp}$$

Что даст плотность 21543.21 вместо 21547.00. Хотя и тогда значение $\pi$ получается 3.13, так что остальное - либо погрешность измерения, либо несохранение сплавом совокупного объема компонентов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.10.2006, 18:59 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Да, все так. Да, в формуле плотности "ap + bq" вместо "+" должен стоять какой-то другой, более правильный знак. Верно и то, что мм-точность для диаметра маловата и его нужно мерить, наверное, с точностью до микронов. Однако никакой информации на этот счет в доступном справочнике и учебном пособии нет, а сказано только, что эталон этот - на 90% по массе платиновый и на 10% иридиевый цилиндр диаметром и высотой 39 мм, и все. Принимая эти данные за "чистую монету", можно вычислить пи, и оно будет не 3.14 и не 3.15, а 3.13. Так и запишем. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.11.2006, 14:38 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Произведение $\pi$ на плотность тела можно было бы назвать питностью этого тела. Эталонной единицей питности был бы 1 пит = $4/(0.039...)^3$ кг/кубометр. Питность эталона массы будет единичной, а питность, например, железа будет примерно в $e$ раз меньшей. Смысл питности может быть таким: чем питность тела больше, тем большее отношение оно имеет к $\pi$. 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Значение Пи - математический или эмпирический факт?
Сообщение02.11.2006, 15:33 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Вот человеческая голова, более или менее круглая, и головной мозг, имеющий форму "сплющенного яйца", как написано в одной книжке. Можно ли использовать это для вычисления "физиологического" значения пи? Впрочем, лучше спросить об этом в теме "Плоский затылок"

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3579. :)

Еще вопрос. Числа вроде пи, е и золотой пропорции имеют очень красивые представления "фрактального" вида. Во всяком случае, глядя на них, мысль о фрактальности возникает. Вот, например, произведение Виета, уже упоминавшееся выше.

$$\frac 2 \pi = \frac {\sqrt{2}} 2 \frac {\sqrt{2 + \sqrt{2}}} 2  \frac {\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} 2 ...$$

Интересно, чему равна отсюда "фрактальная" размерность числа пи?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.11.2006, 17:03 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Что-то я увлекся в физике (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=4569&start=30), "доказывая", что электроны ничего не весят :) Пропустил сообщения...

А какие есть "фрактальные" формулы для e? Я кроме 2-го замечательного предела не встречал... И как подступиться к фракталу - считать, что сама запись формулы является фракталом?

У меня по фракталам есть только книжка Заславского "Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса", там хаусдорфова размерность считается для простых примеров, и я пока не понимаю, как посчитать размерность приведенной формулы...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 22:01 


06/11/06
7
$exp(i\pi)=1$
Вроде же так? Вот чем не связь глобальных консант мира?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2006, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
LymonAdd писал(а):
Вроде же так? Вот чем не связь глобальных консант мира?

И это не так. И в формуле ошибка. ${\rm e}^{{\rm i} \pi} = -1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 95 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group