Сходимость в пространстве обобщенных функций

[ewert]

paha в сообщении #366385 писал(а):

просто написать

$$ \lim_{n\to\+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot\frac{\sin{nx}}{\pi x}\,{\rm d}\,x = \lim_{n\to\+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t/n)\cdot\frac{\sin{t}}{\pi t}\,{\rm d}\,t =f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin{t}}{\pi t}\,{\rm d}\,t =const\cdot f(0) $$

по причине

Padawan в сообщении #358364 писал(а):

Теорема А. Лебега. Если $|f_n|\leqslant\varphi$, где $\int\varphi\, d\mu<+\infty$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int \lim\limits_{n\to\infty} f_n\,d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).

Фокус не пройдёт -- интеграл от фи как раз расходится. Тут нужне не теорема Лебега, а именно лемма Римана-Лебега. Ну пусть хоть в крайне детском варианте (учитывая уже гладкость пробных функций).

[Padawan]

Одной непрерывности в нуле не достаточно, нужна дифференцируемость. Ну или хотя бы условие Гёльдера. А еще точнее -- условие Дини $\int_{-\delta}^{\delta}\frac{|f(x)-f(0)|}{|x|}\, dx<+\infty$

Да, без леммы Римана-Лебега тут никак.