Сходимость в пространстве обобщенных функций

[shamaz.mazum]

Вот решил для самообразования почитать про обобщенные функции (в учебнике Владимирова по урматам). Там упражнение: показать, что предел

${{\lim_{e\rightarrow +0}{\sin \left({{x}\over{e}}\right) \over{\pi\, x}}}}$ равен дельта-функции. Не можете пояснить, как делать? Всё-таки это не задачник, так что там примеров мало довольно таки. И вообще, что можно порешать на эту тему?

[ewert]

shamaz.mazum в сообщении #366044 писал(а):

Не можете пояснить, как делать?

Доказать две вещи:

1) что интеграл по всей оси от этой дроби равен 1;
2) что после умножения на любую пробную функцию интеграл вне любой сколь угодно маленькой окрестности нуля стремится к нулю (лемма Римана-Лебега).

И скомбинировать их, учитывая непрерывность пробной функции.

[shamaz.mazum]

> 1) что интеграл по всей оси от этой дроби равен 1;

И как это доказать, ведь там интеграл какой-то непростой? )

Конечно, школьная задача, но я пока не въехал

[ИСН]

Ну да, интеграл хитрый, но довольно известный. Естественно, он берётся не просто так. Разбирайтесь.
(Интеграл не школьный, но ведь и само понятие обобщённых функций - не школьное. Они примерно с одного этажа.)

[paha]

просто вычислите

$$ \lim_{n\to\+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot\frac{\sin{nx}}{\pi x}\,{\rm d}\,x $$

для гладкой функции $f$ равной нулю вне отрезка $[-a;a]$, где $a<+\infty$

[ewert]

paha в сообщении #366129 писал(а):

просто вычислите

вычислите

shamaz.mazum в сообщении #366117 писал(а):

И как это доказать, ведь там интеграл какой-то непростой? )

Как сказать. Не школьный, конечно. Теория функций комплексной переменной у Вас была?...

[shamaz.mazum]

ewert в сообщении #366133 писал(а):

paha в сообщении #366129 писал(а):

просто вычислите

вычислите

shamaz.mazum в сообщении #366117 писал(а):

И как это доказать, ведь там интеграл какой-то непростой? )

Как сказать. Не школьный, конечно. Теория функций комплексной переменной у Вас была?...

Только с этого семестра. Собственно, мало ещё прошли

-- Пн окт 25, 2010 20:26:09 --

ИСН в сообщении #366126 писал(а):

Ну да, интеграл хитрый, но довольно известный. Естественно, он берётся не просто так. Разбирайтесь.
(Интеграл не школьный, но ведь и само понятие обобщённых функций - не школьное. Они примерно с одного этажа.)

Никак он не берется в элементарных функциях

[ewert]

shamaz.mazum в сообщении #366134 писал(а):

Только с этого семестра. Собственно, мало ещё прошли

Ну тогда подождите, пока дойдёте до вычетов и до вычисления с их помощью несобственных интегралов, куда спешить-то.

shamaz.mazum в сообщении #366134 писал(а):

Никак он не берется в элементарных функциях

Неопределённый -- не берётся, а вот по всей оси -- как раз единичке и равен.

[ИСН]

Хорошо. А Вам не доводилось ли уже видеть какие-нибудь другие определённые интегралы, которые тоже в элементарных функциях не берутся, однако найти их всё-таки можно?

[shamaz.mazum]

> Неопределённый -- не берётся, а вот по всей оси -- как раз единичке и равен

Получается, что так. Ну что ж, поизучаю ТФКП, если поможет)

> Хорошо. А Вам не доводилось ли уже видеть какие-нибудь другие определённые интегралы, которые тоже в элементарных функциях не берутся, однако найти их всё-таки можно?

Представьте себе, доводилось. Вопрос немного не в этом

[ИСН]

Вопрос ровно в этом. Те интегралы такие, и этот такой. Те брались с помощью каких-то особенных приёмов, и этот тоже.

[paha]

paha в сообщении #366129 писал(а):

просто вычислите

$$ \lim_{n\to\+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot\frac{\sin{nx}}{\pi x}\,{\rm d}\,x $$

для гладкой функции $f$ равной нулю вне отрезка $[-a;a]$, где $a<+\infty$

сделайте замену $t=nx$

[Padawan]

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral

[ewert]

paha в сообщении #366295 писал(а):

сделайте замену $t=nx$

Для доказательства это скорее вредно: переменность получающихся пределов интегрирования не то чтоб принципиально мешала, но явно не способствует пониманию. Выгоды же -- никакой (в этом месте).

[paha]

ewert в сообщении #366332 писал(а):

Выгоды же -- никакой (в этом месте).

я не понимаю о чем Вы толкуете... вместо того, чтобы доказывать

ewert в сообщении #366048 писал(а):

что после умножения на любую пробную функцию интеграл вне любой сколь угодно маленькой окрестности нуля стремится к нулю (лемма Римана-Лебега).

просто написать

$$ \lim_{n\to\+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cdot\frac{\sin{nx}}{\pi x}\,{\rm d}\,x = \lim_{n\to\+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t/n)\cdot\frac{\sin{t}}{\pi t}\,{\rm d}\,t =f(0)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin{t}}{\pi t}\,{\rm d}\,t =const\cdot f(0) $$

по причине

Padawan в сообщении #358364 писал(а):

Теорема А. Лебега. Если $|f_n|\leqslant\varphi$, где $\int\varphi\, d\mu<+\infty$, то $\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int \lim\limits_{n\to\infty} f_n\,d\mu$ (мера $\mu$ сигма-конечна).

Вот, получается, наш предел пропорционален дельта-функции -- это тут основное, а уж то, что $const=1$... так Padawan ссылку дал)))