Тогда можно сказать, что и b верно по определению.
Это неточное высказывание, такое же как и "
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
верно по определению". Если доказательство длинное, то в нём может быть ошибка и тогда в таком высказывании будет серьёзный баг. Относительно
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
я говорил только по двум причинам:
* выводится непосредственно из условия задачи
* не нашёл короткого предложения того, что
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
истинно
Надо было мне пронумеровать доказательство истинности
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
, а потом сказать "
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
истинно из
(0)".
А насчет выкладок, я не совсем понял, что такое
![$R(n)$ $R(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a71d9f3d0f646781e22c2b7b9d03ad4682.png)
, поясните, пожалуйста, еще раз.
Доказательство истинности
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
обозначу как
t![$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (x_1 - x_2)^2 \geq 0$ $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (x_1 - x_2)^2 \geq 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/9/cc9f4f5d609721df68b05e7d84ecf01582.png)
Доказанные утверждениия можно кратко записать следующим образом
![$true \rightarrow P(2)$ $true \rightarrow P(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/5/d9551076a54a07a3ed232ab25be9451f82.png)
- это высказывание
x и оно истинно согласно доказательству
t![$P(2n) \rightarrow P(2n - 1)$ $P(2n) \rightarrow P(2n - 1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/a/cba3171e1d3e84f68d7e22fa7042d1e382.png)
- это высказывание
y и оно истинно согласно доказательству
a![$P(n) \rightarrow P(2n)$ $P(n) \rightarrow P(2n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/6/6a640781fede4a8b32b848e33ba13dad82.png)
- это высказывание
z и оно истинно согласно доказательству
b![$P(m)$ $P(m)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/d/28dbeafcd0756d903f6f605d870692cd82.png)
, где
![$m \in \mathbb{N}$ $m \in \mathbb{N}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/8/ba808fb50b07a15a1fa77f4f8c1b298682.png)
будет истинно только когда можно будет построить полную цепочку из высказываний
x,
y,
z и в
самом начале эта цепочка должна иметь x. Например для
![$P(9)$ $P(9)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/9/dd9011080eba9f7f2d2a14f209e679cc82.png)
одна из возможных цепочек будет выглядеть как:
![$true \rightarrow P(2) \rightarrow P(4) \rightarrow P(3) \rightarrow P(6) \rightarrow P(5) \rightarrow P(10) \rightarrow P(9)$ $true \rightarrow P(2) \rightarrow P(4) \rightarrow P(3) \rightarrow P(6) \rightarrow P(5) \rightarrow P(10) \rightarrow P(9)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/0/e00128163d1c3eeb3ac45f21196e1f1082.png)
То есть по сути доказательство
![$P(m)$ $P(m)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/d/28dbeafcd0756d903f6f605d870692cd82.png)
для любого
сводится к возможности сведения числа ![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
к
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
используя рекуррентность (построенную из зависимостей в
x,
y,
z):
![$R(2) = 1$ $R(2) = 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/0/ca0ea36bd076519fcd5218b996dafe3782.png)
(тут в отличии от предыдущего поста я убрал двойку, чтобы не путать, а поставил еденицу обозначающая значение
true)
![$R(2n) = R(n)$ $R(2n) = R(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f25376eda1aef026dd68a87147a98c982.png)
Остаётся доказать, что
![$R(m)$ $R(m)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d9afcba8be992c5d4aaa7efb769c8682.png)
существует для любого
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
. Далее я показываю, что замкнутая форма (константа
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
) равна для любого
![$m \geq 2$ $m \geq 2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/9/5b9fc39de3d2ba1fd1393e655c0f043382.png)
.
Например, для определённых высказываний относительно некого
![$L(n)$ $L(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/6/7766529ca5628624145421329eaf957582.png)
могла бы быть построена следующая рекуррентность:
![$F(2) = 1$ $F(2) = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/9/bc9f10d55e13f6c5e97f1688c08e8ad982.png)
![$F(n) = F(n \backslash 2)$ $F(n) = F(n \backslash 2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/1/ae1c02c42b48315e5c8a912eeca5e4a282.png)
(тут
![$ \backslash $ $ \backslash $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/2/6a26c4bd62416c2ed9da2116c15f9c1c82.png)
означает деление нацело)
Тут очевидно, что
![$F(n)$ $F(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/2/f02cb271644f0392e5f2134efffb59b482.png)
несуществует для некоторых
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, потому что не все натуральные числа делятся пополам нацело. Соответственно не все
![$L(n)$ $L(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/6/7766529ca5628624145421329eaf957582.png)
были бы истинны.
Если тут и есть ошибки, то мне кажется основная идея ценна для понимания.