Уравнение Лапласа в магнитостатике

[Утундрий]

lukashev_sergey в сообщении #365590 писал(а):

Почему формула (43,5) в "Теории поля" должна быть справедлива в любых координатах?

Там такого не утверждается.

[Munin]

Потому что эта формула вообще не координатная, она записана в векторном виде. Вот когда вы её записываете в координатах, начнутся извращения.

И потом, есть случай, когда нельзя пользоваться бескоординатным векторным способом записи (точнее, можно, но тоже с дополнительными сложностями и оговорками) - когда у нас всё пространство имеет некоторую кривизну (риманово многообразие), и, например, декартовой системы координат нельзя ввести в принципе: где-то обязательно будет искривление. В ЛЛ-2 это начинается с главы 10. (Собственно, формулы я списал оттуда как раз.) В этом случае и формула (43.5) будет непригодна.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #365641 писал(а):

И потом, есть случай, когда нельзя пользоваться бескоординатным векторным способом записи (точнее, можно, но тоже с дополнительными сложностями и оговорками) - когда у нас всё пространство имеет некоторую кривизну (риманово многообразие),

Риманово многообразие применительно к простой магнитостатике это "сильно". Нет-нет, все что вы дальше пишите, похоже на правду (детально я не читал, но и так видно что вроде правильно). Только все это не имеет никакого отношения к вопросу о простой магнитостатике в плоском пространстве (ну разве что что-то косвенное можно поискать). Вот к ОТО -- это да, имеет. Ну если рассматривать магнитостатику в рамках ОТО (например в окрестности черной дыры), то тоже придется где-то так:-)

Кстати векторные операции в криволинейных координатах применительно к "обычной" электродинамике (а следовательно и к электростатике и к магнитостатике) определяются не так, как в ОТО (и у Ландау это упоминается). Просто вектором называется нековариантная величина и формулы в результате получаются несколько иные. Можно, конечно, переформулировать и на ковариантном языке. Никаких проблем. Только это абсолютно лишнее, разве что в качестве некого развлечения для знатоков имеет смысл.

[lukashev_sergey]

Munin в сообщении #365641 писал(а):

Потому что эта формула вообще не координатная, она записана в векторном виде. Вот когда вы её записываете в координатах, начнутся извращения.

Не очень вас понял.

[Александр Т.]

lukashev_sergey в сообщении #365353 писал(а):

Я правильно понимаю, что в формуле $\Delta \Vec{A}=-rot\ rot\Vec{A}+grad\ div \Vec{A}$ не в декартовых координатах то что стоит справа, по сути, является определением того что стоит слева?

Нет. Это — не определение, а тождество. Определение лапласиана

$$ \Delta = \mathop\textrm{div}\mathop\textrm{grad} $$

или

$$ \Delta = \nabla\cdot\nabla , $$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #365653 писал(а):

Риманово многообразие применительно к простой магнитостатике это "сильно".

Боже упаси. Я просто оговорил ситуацию, когда эти штучки-дрючки снова перестают работать в неусложнённом виде. Ну и потом, а кто мешает говорить о магнитостатике в стационарном гравитационном поле?..

Alex-Yu в сообщении #365653 писал(а):

Только все это не имеет никакого отношения к вопросу о простой магнитостатике в плоском пространстве (ну разве что что-то косвенное можно поискать).

Имеет, поскольку заявлена "не декартова система координат". Я попросту так и не выучил криволинейный, но плоский случай, а только постфактум глянул его, и увидел, что там всё то же самое, только кривизна тождественно нуль. Ну так до кривизны тут дело и не дошло.

Alex-Yu в сообщении #365653 писал(а):

Просто вектором называется нековариантная величина

???
Прежде всего, вектором обязана называться геометрическая величина. Как минимум правильно преобразующаяся при заменах декартовых СК. А после этого она (в плоском пространстве) уже автоматически ковариантна, как я понимаю.

lukashev_sergey в сообщении #365677 писал(а):

Не очень вас понял.

Всякие действия с векторами можно проводить по координатам, а можно чисто геометрически, например, пользуясь известными со школы правилами сложения треугольником, скалярного произведения через косинус, и так далее. Если вы сделаете с векторами "геометрические вычисления", то потом можете ввести ту или иную систему координат, и обнаружить, что вычисления через координаты дали тот же ответ. При введении криволинейной системы координат (но при условии сохранения плоского пространства) вычисления через координаты усложняются, но "геометрические формулы" остаются в силе в своём простом виде - потому что от введённой системы координат в принципе не зависят.

Значки среднего, интеграла и т. д. - выражаются через сумму, умножение на скаляр и т. п., и таким образом тоже могут быть "геометрическими формулами".

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #365905 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #365653 писал(а):
Просто вектором называется нековариантная величина

???
Прежде всего, вектором обязана называться геометрическая величина. Как минимум правильно преобразующаяся при заменах декартовых СК. А после этого она (в плоском пространстве) уже автоматически ковариантна, как я понимаю.

Читайте Ландавшица. Электродинамику сплошных сред, если не ошибаюсь (?). Все очень просто. Вектором можно назвать и величину с компонентами $\sqrt{g_{ii}}A^i$ при дополнительном условии что метрический тензор всюду диагонален (в плоском пространстве всегда можно этого добиться). Естественно тут нет суммирования по повторяющимся индексам. В плоском пространстве (и только в плоском) так удобнее: нет нужды различать ко- и контравариантные компоненты. Вообще при этом получается, что компоненты вектора в любой точке совпадают с его компонентами в подходящим образом повернутой (по разному для разных точек) декартовой системе координат. В технической электродинамике по другому и не рассматривают почти никогда.


Все это можно сформулировать и совсем просто. Вводим поле ортонормированных ортов, в каждой точке направленных вдоль по координатным линиям криволинейной, но ортогональной, системы координат. Раскладываем все векторные поля по этим ортам (своим в каждой точке). Естественно, при дифференциальных операциях надо будет учитывать и поворот ортов тоже. Но векторная алгебра в фиксированной точке будет тривиальная -- как в декартовой системе координат.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #365982 писал(а):

В плоском пространстве (и только в плоском) так удобнее: нет нужды различать ко- и контравариантные компоненты. ...В технической электродинамике по другому и не рассматривают почти никогда.

Понятно.

Ну, буду утешать себя тем, что рассказал не технический вариант :-)

И разумеется, не буду переучиваться на технический, ибо он менее общ.

Alex-Yu в сообщении #365982 писал(а):

Естественно, при дифференциальных операциях надо будет учитывать и поворот ортов тоже.

Приведёте формулы градиента (!), дивергенции и ротора в таких координатах и "перенормированных векторах"?

Я полагаю, тогда тоже будет легко явно увидеть, почему композиция двух дифференцирований для скалярного поля не совпадает с аналогичной композицией для векторного, и показать этот результат мсье lukashev_sergey.

[lukashev_sergey]

Munin в сообщении #365905 писал(а):

Всякие действия с векторами можно проводить по координатам, а можно чисто геометрически, например, пользуясь известными со школы правилами сложения треугольником, скалярного произведения через косинус, и так далее. Если вы сделаете с векторами "геометрические вычисления", то потом можете ввести ту или иную систему координат, и обнаружить, что вычисления через координаты дали тот же ответ. При введении криволинейной системы координат (но при условии сохранения плоского пространства) вычисления через координаты усложняются, но "геометрические формулы" остаются в силе в своём простом виде - потому что от введённой системы координат в принципе не зависят.

Значки среднего, интеграла и т. д. - выражаются через сумму, умножение на скаляр и т. п., и таким образом тоже могут быть "геометрическими формулами".

Ясно. Формулы типа той на которую я указывал казались мне какими-то странными (теперь понятно почему) в том плане, что я считал их малополезными на практике (ну вот есть интеграл, попробуй сосчитай его в конкретном случае). Отчасти это действительно так, вспоминается формула для индуктивности через криволинейные интегралы и методы, которыми считалась индуктивность в какой-нибудь задачке.

[Munin]

Нет, эти формулы на самом деле очень полезны, поскольку они как раз позволяют не решать дифференциальное уравнение, а всего лишь посчитать интеграл. Это можно проделать хотя бы численно, если жизнь заставляет. А решать дифур занятие гораздо более трудоёмкое, и в общем случае не факт, что вообще к результату приводящее.

Разумеется, для конкретных расчётов формула превращается из "геометрической" формы в "координатную", если нет каких-нибудь способов её упростить ещё на "геометрическом" этапе. Но этот шаг совершается совершенно стандартным способом, своим для каждой системы координат, а говоря о смысле формулы, лучше привести её в одном геометрическом обличье, чем засорять учебник перечислением того, как она в случаях разных СК выглядит.

Есть ещё такой эффект, что пока вы учитесь, у вас может создасться впечатление, что методы, применяемые к задачам, неадекватно громоздки. Но это связано с тем, что задачи, на которых их показывают, учебные и специально упрощены, а в жизни встречаются задачи более общего вида, и вся заготовленная тяжёлая артиллерия оказывается как нельзя кстати.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #365999 писал(а):

Приведёте формулы градиента (!), дивергенции и ротора в таких координатах и "перенормированных векторах"?

Не-а... На память я их никогда не помнил (а выводить лениво). См. Никольский "Электродинамика и распространение радиоволн". Там в конце сводка таких формул есть.

[Munin]

Ну, в наш век под рукой википудии есть.

Скачал Никольского (сводка оказалась не в конце):

$$\mathop{\mathrm{grad}}\varphi=\mathbf{e}_1\frac{1}{h_1}\frac{\partial\varphi}{\partial q_1}+\mathbf{e}_2\frac{1}{h_2}\frac{\partial\varphi}{\partial q_2}+\mathbf{e}_3\frac{1}{h_3}\frac{\partial\varphi}{\partial q_3}$$

$$\mathop{\mathrm{div}}\mathbf{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left\{\frac{\partial(h_2h_3F_1)}{\partial q_1}+\frac{\partial(h_3h_1F_2)}{\partial q_2}+\frac{\partial(h_1h_2F_3)}{\partial q_3}\right\}$$

$$\mathop{\mathrm{rot}}\mathbf{F}=\left\lvert\begin{array}{ccc} \mathbf{e}_1/h_2h_3 & \mathbf{e}_2/h_3h_1 & \mathbf{e}_3/h_1h_2 \\ \partial/\partial q_1 & \partial/\partial q_2 & \partial/\partial q_3 \\ h_1F_1 & h_2F_2 & h_3F_3 \end{array}\right\rvert$$

где $h_i\equiv\sqrt{g_{ii}}$ - пресловутые коэффициенты Ламэ.
Даже не представляю, как это покомпактней записать, чтобы удобно было обращаться. В некомпактном виде возиться с этой ерундовиной просто лень, так что убедиться, что результаты $\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}$ и лапласиана от вектора выглядят по-разному, предоставляю читателю :-)

[Александр Т.]

Munin в сообщении #366220 писал(а):

результаты $\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}$ и лапласиана от вектора выглядят по-разному

Вы не согласны с тем, что по определению $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}$? Как же тогда определяется лапласиан?

Или Вы хотели сказать, что компонента лапласиана вектора не равна лапласиану от этой компоненты?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #366220 писал(а):

Даже не представляю, как это покомпактней записать, чтобы удобно было обращаться.

Ну там далее есть конкретные формулы для сферической и цилиндрической системы координат. А какие еще системы координат надо в реальной жизни...

[Munin]

Александр Т. в сообщении #366290 писал(а):

Вы не согласны с тем, что по определению $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}$? Как же тогда определяется лапласиан?

Перечитайте предыдущую тему, она вся посвящена этому. Есть лапласиан от скаляра, есть лапласиан от вектора. Для них для обоих верно $\Delta=(\nabla\cdot\nabla),$ но не то, что вы дальше пишете.

Вообще говоря, есть ещё лапласиан от тензора, но топикстартер этого не заказывал, мы про это и не танцуем...

(Ужасная догадка) Или вы предлагаете брать градиент от вектора, а потом уже от него дивергенцию?

Александр Т. в сообщении #366290 писал(а):

Или Вы хотели сказать, что компонента лапласиана вектора не равна лапласиану от этой компоненты?

С этого тема началась давным-давно, это сказал не я. Теперь речь идёт о том, почему это так.

Alex-Yu в сообщении #366366 писал(а):

Ну там далее есть конкретные формулы для сферической и цилиндрической системы координат.

От этого они компактнее не становятся :-)

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #366366 писал(а):

А какие еще системы координат надо в реальной жизни...

Эллиптические, может быть, например, если у нас рамки или пластины. А вообще, не знаю.