2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Уравнение Лапласа в магнитостатике
Сообщение26.10.2010, 15:05 


06/12/06
347
Munin в сообщении #366374 писал(а):
Александр Т. в сообщении #366290 писал(а):
Вы не согласны с тем, что по определению $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}$? Как же тогда определяется лапласиан?

Перечитайте предыдущую тему, она вся посвящена этому.
Предыдущая — это какая? Если предыдущая по отношению к данной теме, то в каком смысле предыдущая?

Если же Вы имели в виду прочитать часть данной темы, предшедствующую моему соообщению, на которое Вы ответили, то я ее довольно внимательно прочитал и даже оставил там сообщение (Вы почему-то не сообщили, что то, что я там написал — неверно по Вашему мнению).
Цитата:
Есть лапласиан от скаляра, есть лапласиан от вектора. Для них для обоих верно $\Delta=(\nabla\cdot\nabla),$ но не то, что вы дальше пишете.
Иначе говоря, Вы утверждаете, что
$$
\nabla\cdot\nabla
\neq
\mathop{\mathrm{div}}\mathop{\mathrm{grad}}
$$
и, возможно даже (раз Вы использовали скобки), что (для произвольного векторного поля $\vec{A}$)
$$
(\nabla\cdot\nabla) \vec{A}
\neq
\nabla\cdot\left(\nabla\vec{A}\right)
.
$$
Цитата:
(Ужасная догадка) Или вы предлагаете брать градиент от вектора, а потом уже от него дивергенцию?
Именно так (см. также выше). Я давно уже приучен без всякого мистического ужаса брать градиент (т.е. применять набла-оператор) от тензора любого ранга (включая нулевой и первый) и получать в результате тензор с рангом на единицу бо́льшим.
Цитата:
Александр Т. в сообщении #366290 писал(а):
Или Вы хотели сказать, что компонента лапласиана вектора не равна лапласиану от этой компоненты?

С этого тема началась давным-давно, это сказал не я.
И Вы считаете, что это то же самое, что и $
(\nabla\cdot\nabla) \vec{A}
\neq
\nabla\cdot\left(\nabla\vec{A}\right)
$?
Цитата:
Теперь речь идёт о том, почему это так.
Ну это очевидно следует из преобразования
$$
\Delta \vec{A}
=
\nabla\cdot\nabla \left(A^i \vec{e}_i\right)
=
\vec{e}_i\Delta A^i
+
2 \left(\nabla \vec{e}_i\right)^{\mathrm{T}}\cdot 
\nabla A^i
+
A^i\Delta \vec{e}_i
.
$$
Здесь $A^i$ — контравариантные координаты произвольного векторного поля $\vec{A}$, $\vec{e}_i$ — векторы соответствующего локального базиса, $\hat{T}^\mathrm{T}$ обозначает транспонирование тензора второго ранга $\hat{T}$. (Правда очевидно только для того, кто более или менее знает векторное исчисление.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа в магнитостатике
Сообщение26.10.2010, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Александр Т. в сообщении #366416 писал(а):
Я давно уже приучен без всякого мистического ужаса брать градиент (т.е. применять набла-оператор) от тензора любого ранга (включая нулевой и первый) и получать в результате тензор с рангом на единицу бо́льшим.

Вы-то да. Но вы ожидаете тех же навыков от любого студента, который приходит с вопросами на форум? Я предполагал, что векторный анализ ему знаком, а тензорный нет.

Александр Т. в сообщении #366416 писал(а):
Ну это очевидно следует из преобразования

Большое спасибо за ещё одну форму представления, очень красивую и компактную. Я надеюсь, топикстартер ещё вернётся и оценит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Cos(x-pi/2)


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group