Уравнение Лапласа в магнитостатике

[lukashev_sergey]

Прошу знающего в этой области человека прояснить один момент.
Уравнение магнитостатики выглядит следующим образом

$$\Delta \Vec{A}=-\mu \Vec{j}$$

где $\Delta \Vec{A}$ означает оператор Лапласа от вектора который определяется равенством $\Delta \Vec{A}=-rot\ rot\Vec{A}+grad\ div \Vec{A}$. В декартовых координатах это равенство является тождеством, если под оператором Лапласа от вектора понимать вектор, к компонентам которого применен оператор Лапласа. Но вообще говоря это не так. В произвольных криволинейных координатах компонента оператора Лапласа от вектора не совпадает с оператором Лапласа от компоненты вектора.

$$(\Delta \Vec{A})_\xi \neq \Delta({\Vec{A}})_\xi$$

Вопрос собственно в том, какое же уравнение нужно решать в криволинейных координатах?

[Утундрий]

lukashev_sergey в сообщении #364971 писал(а):

Вопрос собственно в том, какое же уравнение нужно решать в криволинейных координатах?

А какое Вам надо?

[Alex-Yu]

lukashev_sergey в сообщении #364971 писал(а):

если под оператором Лапласа от вектора понимать вектор, к компонентам которого применен оператор Лапласа.

В том все и дело, что это справедливо ТОЛЬКО в декартовых координатах. В криволинейных лапласиан от вектора НЕ РАВЕН покомпонентному лапласиану от компонетн. В криволинейных берите формулу с роторами и градиентом дивергенции.

[lukashev_sergey]

Как будет выглядеть уравнение

lukashev_sergey в сообщении #364971 писал(а):

$$\Delta \Vec{A}=-\mu \Vec{j}$$

в криволинейных координатах (например в цилиндрических), $(\Delta \Vec{A})_\xi = -\mu (\Vec{j})_\xi $ или $ \Delta({\Vec{A}})_\xi=-\mu (\Vec{j})_\xi$ ?

-- Пт окт 22, 2010 22:46:44 --

Alex-Yu в сообщении #365068 писал(а):

В криволинейных берите формулу с роторами и градиентом дивергенции.

Главный вопрос - ПОЧЕМУ?

[Утундрий]

lukashev_sergey в сообщении #365073 писал(а):

ПОЧЕМУ?

Потому что ГЛАДИОЛУС!

Или, другими словами, "Учите матчасть!"

[Munin]

Я не знаю, как без символов Кристоффеля объяснить...

[Утундрий]

Пусть ТС поставит конкретную задачу и я ему постараюсь через "попендикулярные палочки" объяснить. Только вот незадача - сумей он внятно вопрос сформулировать и ему уже никаких пояснений не потребуется.

Таковы парадоксы природы семейства Мышкиных

[Munin]

Человек, может, имеет на руках максимум невнятную методичку, и во внятной постановке задачи меньше нас разбирается. Может, ему хотя бы в качестве матчасти конкретный учебник назвать?

[lukashev_sergey]

Munin в сообщении #365136 писал(а):

Может, ему хотя бы в качестве матчасти конкретный учебник назвать?

Было бы хорошо.

[Alex-Yu]

lukashev_sergey в сообщении #365073 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #365068 писал(а):
В криволинейных берите формулу с роторами и градиентом дивергенции.

Главный вопрос - ПОЧЕМУ?

Потому что это следует из уравнений Максвелла. Из них (максвелловских уравнений) следует именно формула с роторами и градиентом дивергенции. Но никак не формула с лапласианом (кроме как в декартовых координатах, когда роторы и и пр. можно заменить на лапласиан). Магнитостатика -- пердельный случай электродинамики.

[lukashev_sergey]

Alex-Yu в сообщении #365328 писал(а):

Потому что это следует из уравнений Максвелла. Из них (максвелловских уравнений) следует именно формула с роторами и градиентом дивергенции. Но никак не формула с лапласианом (кроме как в декартовых координатах, когда роторы и и пр. можно заменить на лапласиан). Магнитостатика -- пердельный случай электродинамики.

Мое непонимание произошло видимо оттого, что во всех учебниках по электродинамике никакая система координат кроме декартовой, конечно, не рассматривается. Как понимать лапласиан от вектора в ней значения не имеет, причем еще любят приводить аналогию со скалярным уравнением для электрического потенциала, мол посмотрите, одинаковые уравнения. Я правильно понимаю, что в формуле $\Delta \Vec{A}=-rot\ rot\Vec{A}+grad\ div \Vec{A}$ не в декартовых координатах то что стоит справа, по сути, является определением того что стоит слева?

[Alex-Yu]

lukashev_sergey в сообщении #365353 писал(а):

Я правильно понимаю, что в формуле не в декартовых координатах то что стоит справа, по сути, является определением того что стоит слева?

Да.

[lukashev_sergey]

Ну вроде прояснилось. Всем спасибо. Если есть что добавить - пишите.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #365328 писал(а):

Потому что это следует из уравнений Максвелла.

Мягко говоря, конкретный Максвелл тут ни при чём.

Извините, я не стерплю, и расскажу как есть.

Не декартовы системы координат, конечно, бывают. Но они довольно неудобны, потому что с ними сложнее работать, и поэтому учат им не всех, и даже когда учат, могут рассказать не всю технику работы, а только часть. И часто когда есть возможность, ограничивают рассказ только декартовым представлением, как, например, в учебниках по электродинамике, которые вы, lukashev_sergey, читали. Но бывают учебники, в которых изложено представление в произвольных координатах, в частности, Ландау, Лифшиц "Теория поля".

1. Когда мы провели не декартову систему координат (обозначим её $x^i,$ где индекс $i$ пробегает значения от 1 до $n,$ например, от 1 до 3; почему индекс сверху - условность, объяснённая ниже), мы сделали только полдела. Мы знаем координаты каждой точки, и можем записать скалярную функцию $a(x^i).$ Но у нас часто есть потребность отложить вектор в произвольной точке, а для записи компонентов векторов мы тоже пользовались декартовыми координатами. Поступают так: считают, что векторы в точке подобны маленьким отрезочкам, отложенным от этой точки (достаточно малым, чтобы линии системы координат не успели сильно искривиться на протяжении этого отрезочка). Такой отрезочек имеет координаты $dx^i$ (и бескоординатную величину, выраженную через эти координаты, $d\mathbf{x}=\sum\mathbf{e}_idx^i$). Аналогично этому, вектор в некоторой точке считается имеющим координаты $a^i,$ и интерпретация этих координат такая же: вдоль локальных направляющих векторов системы координат откладываются пропорциональные слагаемые $\mathbf{e}_ia^i,$ и их сумма есть нужный вектор. [Значок суммы опускают, считая, что если одинаковый индекс встречается в произведении один раз вверху и один раз внизу, по нему подразумевается суммирование.] Чтобы вычислять скалярное произведение векторов через координаты, необходима матрица чисел, которая называется "метрический тензор": $(\mathbf{ab})=g_{ik}a^ib^k,$ что ещё условно записывают как $g_{ik}a^ib^k=(g_{ik}a^i)b^k=a_kb^k.$ Числа $a_i,$ "подготовленные" для умножения на координаты другого вектора, называют "ковариантные координаты вектора" или иногда "ковариантный вектор", "ковектор", а $a^i$ - "контравариантые координаты вектора". Они не равны друг другу, и поэтому надо отслеживать, стоит ли индекс вверху или внизу. Метрический тензор $g_{ik}$ и его обратная матрица $g^{ik},$ которая тоже называется "метрический тензор", используется для "поднимания" и "опускания" индексов. Если у величины несколько индексов (например, тензор), то индексы можно "поднимать" и "опускать" по одному. Для записи векторного произведения используется ещё один тензор - тензор Леви-Чивиты, который обозначается $\varepsilon_{ikm},$ и применяется так: если $\mathbf{a}=[\mathbf{bc}],$ то $a_i=\varepsilon_{ikm}b^kc^m.$ Но часто в тензорном исчислении векторное произведение считают не вектором, а тензором, и записывают как $a^{km}=b^kc^m-b^mc^k.$

2. Когда мы берём пространственные производные в не декартовой системе координат, то возникает ещё одна часть технического аппарата. Производные от скалярной функции берутся просто как частные производные, надо только иметь в виду, что они составляют ковариантные компоненты вектора (имеют индекс снизу):
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^i}a=g_i.$
Представим себе, что мы отслеживаем изменение какого-то вектора (как функции точки) при смещении в другую точку пространства. Если бы у нас была декартова система координат, то координаты вектора изменялись бы только за счёт изменения самого вектора. Но в не декартовом случае координаты вектора могут меняться ещё и за счёт изменения локальных направляющих векторов, по которым раскладывается исследуемый вектор. Получается, что "истинная" (геометрическая) производная отличается от вычисляемых частных производных. Это отличие удаётся учесть отдельным слагаемым:
$\displaystyle\frac{D}{\partial x^i}a^k=\frac{\partial}{\partial x^i}a^k+\Gamma^k_{im}a^m,$
и такое выражение называется "ковариантная производная" (здесь слово "ковариантный" имеет другой смысл и не чередуется с "контравариантным"), а коэффициенты $\Gamma^k_{im}$ - "коэффициенты аффинной связности" или "символы Кристоффеля". [Выражения для ковариантных производных ковариантных векторов и всяких тензоров - другие, но им всем тоже достаточно тех же самых символов Кристоффеля.]

Все перечисленные вещи - и метрический тензор, и символы Кристоффеля - вычисляются и могут быть как-то найдены, но пока их можно просто смотреть в справочнике, например, для сферической системы координат.

Возвращаемся к электричеству и магнетизму.

Итого, нам нужно взять от величины вторую производную, сделать так, чтобы тензорный ранг от этой второй производной не поднялся (то есть чтобы дифференциальный оператор был скалярным), и приравнять её правой части. Для скалярного потенциала имеем:
$\displaystyle g^{ik}\frac{D}{\partial x^i}\left(\frac{D}{\partial x^k}\varphi\right)=g^{ik}\frac{D}{\partial x^i}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\varphi\right)=g^{ik}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}\varphi\right)-g^{ik}\Gamma^m_{ik}\left(\frac{\partial}{\partial x^m}\varphi\right),$
что в точности совпадает с последовательным применением операций $\mathrm{grad}$ и $\mathrm{div}.$ Но для векторного потенциала имеем:
$\displaystyle g^{ik}\frac{D}{\partial x^i}\left(\frac{D}{\partial x^k}A^m\right)=g^{ik}\frac{D}{\partial x^i}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}A^m+\Gamma^m_{kp}A^p\right)=$
$\displaystyle =g^{ik}\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}A^m+\Gamma^m_{kp}A^p\right)+g^{ik}\Gamma^m_{iq}\left(\frac{\partial}{\partial x^k}A^q+\Gamma^q_{kp}A^p\right)-g^{ik}\Gamma^r_{ik}\left(\frac{\partial}{\partial x^r}A^m+\Gamma^m_{rp}A^p\right),$
и если мы теперь зафиксируем какой-то номер координаты $m,$ то мы вовсе не получим выражения, аналогичного лапласиану от скалярной функции. Вот, собственно, ответ на ваш заданный вопрос. Зато это выражение совпадает с результатом последовательных применений $\mathrm{div},$ $\mathrm{grad},$ $\mathrm{rot}$ и вычитания, и это позволяет "определить" оператор лапласа через них.

[lukashev_sergey]

Спасибо что ответили, Munin. У меня к вам последний вопрос.

Munin в сообщении #365511 писал(а):

Но бывают учебники, в которых изложено представление в произвольных координатах, в частности, Ландау, Лифшиц "Теория поля".

Только что мы выяснили, что в криволинейных координатах между дифференцированием скаляра и вектора есть существенная разница. Тогда почему формула (43,5) в "Теории поля" должна быть справедлива в любых координатах: как решение скалярного уравнения можно перенести на векторное?