Нет, нулю. Посмотрите на ряд в нуле, он же весь состоит из синусов нуля. Каждый член - 0.
Да, извиняюсь, всё стало понятно, ещё раз извиняюсь за свою спешку...
-- Пт окт 22, 2010 16:36:19 --![$f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n+1}$ $f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/4/bf49fec180626ca57b6c6813f155c05182.png)
,
![$0<x<\pi/2$ $0<x<\pi/2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/3/b137444b256e7baaf0b827e8de535b1682.png)
. Представим этот ряд в виде
![$f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n}+\sum_{n=1}^\infty \sin {2nx}\cdot{(\frac 1n-\frac{1}{n+1})}=g(x)+h(x)$ $f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n}+\sum_{n=1}^\infty \sin {2nx}\cdot{(\frac 1n-\frac{1}{n+1})}=g(x)+h(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/2/b8279c84027c89cb133fa589c04acc6282.png)
. Последний ряд сходится равномерно на всей прямой и представляет непрерывную функцию. Сумма первого хорошо известна
![$g(x)=-\frac{\pi-2x}{2}$ $g(x)=-\frac{\pi-2x}{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/f/eaf4f4c0e1405f7f289a7f9abfdaae0682.png)
, при
![$0<x<\pi$ $0<x<\pi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/2/98281ea1e00b154834149365b21f7b3582.png)
,
![$g(0)=0$ $g(0)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/4/ee44e6df185411a4c73f4e1550f4d63782.png)
, и
![$g(x)$ $g(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffcbbb391bc04da2d07f7aef493d3e2a82.png)
-- нечётная функция. В итоге получаем, что
![$f'$ $f'$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/e/06e7cc81ea7c4442d159c33723c273db82.png)
имеет разрыв первого рода в нуле. Значит,
![$f'(0)$ $f'(0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/5/785db9a7afea351bd4c5820f0c59033282.png)
не существует -- в этой точке излом графика. То же самое относится к
![$f'(\pi), f'(2\pi)$ $f'(\pi), f'(2\pi)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/8/9f8c7ba36d1c3db76fe7ff21d138ce5582.png)
.
А как быть с вопросом, что при
![$x = 0, \pi, 2\pi$ $x = 0, \pi, 2\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/8/708b6e7d7e4fed7762506574850f7ef282.png)
мы не можем утверждать, что дифференцировать почленно можно, однако делаем вывод о разрыве производной в точке именно по этому ряду из производных? Хотя формально не доказано, что это имеет смысл?