Дифференцируемость ряда

[nevero]

Помогите пожалуйста решить вопрос и возможности почленного дифференцирования ряда: $\sum_{n=1}\frac{\cos^2(nx)}{n(n+1)} = f(x)$ в точках $x=0 , x = 2\pi$.
На множестве $0<\alpha<x<2\pi-\alpha$ данное утверждение доказывается довольно просто, но в крайних точках нарушается равномерная сходимость ряда производных, поэтому применить теорему о достаточных условиях нельзя...

[RIP]

Здесь была написана ещё бо́́́льшая фигня, чем написана сейчас.

[Padawan]

$f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n+1}$, $0<x<\pi/2$. Представим этот ряд в виде $f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n}+\sum_{n=1}^\infty \sin {2nx}\cdot{(\frac 1n-\frac{1}{n+1})}=g(x)+h(x)$. Последний ряд сходится равномерно на всей прямой и представляет непрерывную функцию. Сумма первого хорошо известна $g(x)=-\frac{\pi-2x}{2}$, при $0<x<\pi$, $g(0)=0$, и $g(x)$ -- нечётная функция. В итоге получаем, что $f'$ имеет разрыв первого рода в нуле. Значит,$f'(0)$ не существует -- в этой точке излом графика. То же самое относится к $f'(\pi), f'(2\pi)$.

nevero в сообщении #364581 писал(а):

На множестве $0<\alpha<x<2\pi-\alpha$

Тут ошибка, в окрестности $\pi$ ряд из производных не сходится равномерно.

[ewert]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #364646 писал(а):

Здесь была написана ещё бо́́́льшая фигня, чем написана сейчас.

Почему?... мне кажется, было написано примерно то же самое, что и у Padawan'а (правда, в детали я не вникал, но идея-то правильна)

[nevero]

Padawan в [url=ht[quote="Padawan в [url=http://dxdy.ru/post364670.html#p364670]сообщении #364670[/url] писал(а):

Сумма первого хорошо известна $g(x)=-\frac{\pi-2x}{2}$

А нельзя ли подробнее описать, а то мне этот ряд не известен...

Padawan в сообщении #364670 писал(а):

$g(0)=0$, и $g(x)$ -- нечётная функция. В итоге получаем, что $f'$ имеет разрыв первого рода в нуле. Значит,$f'(0)$ не существует -- в этой точке излом графика.

Вроде $g(0) = -\pi/2$ и как это может привести к выводу о разрыве производной, объясните пожалуйста.

[ИСН]

Вы про ряды Фурье слышали? Вот Padawan где-то слышал и вспомнил, что у этой функции такой ряд. Теперь-то проверить легко: подставьте её в формулы для коэффициентов Фурье, они получатся те же самые.

nevero в сообщении #364757 писал(а):

Вроде $g(0) = -\pi/2$

Нет, нулю. Посмотрите на ряд в нуле, он же весь состоит из синусов нуля. Каждый член - 0.

[nevero]

ИСН в сообщении #364764 писал(а):

Нет, нулю. Посмотрите на ряд в нуле, он же весь состоит из синусов нуля. Каждый член - 0.

Да, извиняюсь, всё стало понятно, ещё раз извиняюсь за свою спешку...

-- Пт окт 22, 2010 16:36:19 --

Padawan в сообщении #364670 писал(а):

$f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n+1}$, $0<x<\pi/2$. Представим этот ряд в виде $f'(x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin {2nx}}{n}+\sum_{n=1}^\infty \sin {2nx}\cdot{(\frac 1n-\frac{1}{n+1})}=g(x)+h(x)$. Последний ряд сходится равномерно на всей прямой и представляет непрерывную функцию. Сумма первого хорошо известна $g(x)=-\frac{\pi-2x}{2}$, при $0<x<\pi$, $g(0)=0$, и $g(x)$ -- нечётная функция. В итоге получаем, что $f'$ имеет разрыв первого рода в нуле. Значит,$f'(0)$ не существует -- в этой точке излом графика. То же самое относится к $f'(\pi), f'(2\pi)$.

А как быть с вопросом, что при $x = 0, \pi, 2\pi$ мы не можем утверждать, что дифференцировать почленно можно, однако делаем вывод о разрыве производной в точке именно по этому ряду из производных? Хотя формально не доказано, что это имеет смысл?

[Padawan]

Но ведь производная найдена во всех точках, кроме этих. Есть такая теорема (из теоремы Лагранжа легко получается), что если существует предел справа $f'(x_0+0)$, то в точке $x_0$ существует правая производная $f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. А в нашем случае и $f'(0+0)$ и $f'(0-0)$ существуют, причём они не равны.

[nevero]

nevero в сообщении #364770 писал(а):

$g(x)=-\frac{\pi-2x}{2}$

ИСН в сообщении #364764 писал(а):

Вы про ряды Фурье слышали? Вот Padawan где-то слышал и вспомнил, что у этой функции такой ряд. Теперь-то проверить легко: подставьте её в формулы для коэффициентов Фурье, они получатся те же самые.

У меня принципиально не выходит получить требуемый ряд.... какие пределы интегрирования у определённого интеграла для коэффициентов?

[Joker_vD]

nevero
От минус до плюч бесконечности, как я помню... давно с ними не сталкивался.

[ИСН]

2Joker_vD:
Один студент © шёл по Богоявленскому переулку от Никольской к Ильинке. Навстречу ему шёл какой-то чувак и спросил, где тут Красная площадь. Студент махнул рукой налево и побежал дальше.
Тут с лесов упало ведро с краской и оделось ему на голову по самые плечи.

-- Пт, 2010-10-22, 21:10 --

nevero, пределы такие, какой период у функции, которую раскладывают в ряд.

[Padawan]

nevero
$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi-x}{2}, 0<x<2\pi$. См. любой учебник математического анализа. Например, Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.