Множество и класс

[bigarcus]

Я правильно понимаю, что эта же мысль, более лаконично записанная в логических знаках была приведена в ходе обсуждения по приведенной выше ссылке? Вот она:

Цитата:

$$\varnothing \subseteq A \Leftrightarrow \forall x\left( {x \in \varnothing \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x\left( {0 \Rightarrow x \in A} \right) \Leftrightarrow \forall x1 \Leftrightarrow 1$$

То есть по ходу записи, если мы встречаем ложное высказывание (в данном случае $x\in\varnothing$) то мы можем заменить его на $0$, а из него имплицировать любое угодное нам высказывание? Круто!

-- Чт окт 21, 2010 21:54:01 --

И еще хочу спросить по обсуждению в той ссылке. А именно:

Цитата:

элемент и подмножество --- совершенно разные вещи, не забывайте об этом! Записи $x \in X$ и $x \subseteq X$ имеют различный смысл. В частности, $\varnothing \subseteq \varnothing$, но $\varnothing \not\in \varnothing$.

Я так понимаю, приведенное 'в частности' является единственным. То есть случай, когда элемент и подмножество разные вещи - это один-единственный случай пустого множества. Думаю я ошибаюсь. Поправьте пожалуйста.
В чем именно выражается то, что "элемент и подмножество --- совершенно разные вещи"?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Я понял, что импликация ложна только когда A истинно, а B - ложно

Есть замечательный одесский анекдот в тему

-Скажите пожалуйста, если я пойду по этой дороге, будет ли там Привоз?
- Знаете, Привоз там будет если даже вы туда не пойдете!

[bigarcus]

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #364575 писал(а):

Я так понимаю, приведенное 'в частности' является единственным. То есть случай, когда элемент и подмножество разные вещи - это один-единственный случай пустого множества. Думаю я ошибаюсь. Поправьте пожалуйста.

Разумеется ошибаетесь. Возьмем, например, множество $A = \{\{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}\}$. Оно содержит два элемента $\{\varnothing\}$ и $\{\{\varnothing\}\}$ и имеет 4 подмножества $\varnothing$, $\{\{\varnothing\}\}$, $\{\{\{\varnothing\}\}\}$ и само $A$. Здесь $\{\varnothing\}$ является элементом, но не является подмножеством, $\{\{\{\varnothing\}\}\}$ является подмножеством, но не является элементом, а $\{\{\varnothing\}\}$ является и тем, и другим.

Задачка: доказать, что не существует конечных множеств, которые содержали бы все свои подмножества в качестве элементов.

(Подсказка)

Количество различных подмножеств множества с $n$ элементами есть $2^n$

Бесконечных, кстати, тоже не существует. Доберетесь до теоремы Кантора о множестве всех подмножеств - увидите.

[Виктор Викторов]

bigarcus! Ваша основная проблема по множествам в том, что Вы, не усвоив основ, рветесь вперед. Вот суть дела, усвоив которую, можно идти дальше. Множество $F=\quad\left\{a, b, c \right\}$. Его элемент $b\in F$ и т. д (хорошо бы, если Вы распишите это т. д.). Подмножество $\quad\left\{a, b\right\}\subseteq F$ распишите остальные подмножества. Множество всех подмножеств $F$ назовем $CF$.

$$CF=\quad\left\{\varnothing, \quad\left\{a\right\}, \quad\left\{b\right\}, \quad\left\{c\right\}, \quad\left\{a, b\right\}, \quad\left\{a, c\right\}, \quad\left\{b, c\right\}, \quad\left\{a, b, c\right\}\right\}$$

$\varnothing\in CF$, $\quad\left\{a, b\right\}\in CF$ и т. д. $\quad\left\{\varnothing, \quad\left\{a\right\}, \quad\left\{b\right\}, \quad\left\{c\right\}, \quad\left\{a, b\right\}\right\}\subseteq CF$

[bigarcus]

Вы правы, основы я еще не освоил. Но вроде и вперед стараюсь не рваться. Просто мне кажется что из уже прочитанного мне должны были эти основы стать ясны; а не стали, так что я себя сдерживаю читать дальше (читаю Зорича), пока не разберусь и не останется вопросов. Чувствую себя несколько глупым. Ничего, зато интересно.

Пытаюсь решить задачку, которую дал Xaositect. Как раз в таком ключе как описал Виктор Викторов, то есть для множеств с одним, двумя, тремя, четырьмя элементами выписал все их элементы и подмножества. Пока все что получил - формулу зависимости числа подмножеств от числа элементов. Несколько буксую в движении дальше, посмотрел подсказку под спойлером, а там эта формула
Думаю дальше...

Большое спасибо! Мне нравится!

[ИСН]

Завидую: у Вас впереди парадокс Рассела и ещё куча увлекательных вещей...

(Оффтоп)

ну да, ну да, я это написал лишь затем, чтобы в пяти верхних темах крайние сообщения были мои

[bigarcus]

Хорошо бы

-- Сб окт 23, 2010 13:12:51 --

...Формулу после выписываний элементов и подмножеств просто угадал, не доказав, но мысли есть: к двум подмножествам (пустое и само множество) нужно добавлять комбинаторные формулы.

(Оффтоп)

ИСН, ой!