Про странный способ изложения в математических книгах

[worm2]

Я писал(а):

...вопрос Б: а существует ли вообще функция $X$ (хоть решение, хоть не решение), к которой нельзя неограниченно приблизиться... что же значит "Б неверно"? Это и есть компактность...

Вообще-то, конечно, и здесь есть к чему придраться: отрицание Б несколько сильнее компактности. Если пытаться устранить этот огрех, видимо, придётся уже переходить к каноническому определению, которое не столь наглядно... На практике всё же обычно имеют дело с функциями, априори ограниченными, поэтому такая жертва некоторой долей строгости в пользу наглядности на этапе объяснения "на пальцах" может быть оправдана.

[ewert]

worm2 в сообщении #363303 писал(а):

вопрос Б: а существует ли вообще функция $X$ (хоть решение, хоть не решение), к которой нельзя неограниченно приблизиться (таким путём)? <...> Но что же значит "Б неверно"? Это и есть компактность множества сеточных функций.

Госсподи, да при чём же тут компактность-то. "Б неверно" -- означает лишь то, что множество тех модельных функций (пусть сплайнов, какая разница) является плотным пространнстве приближаемых функций. Но плотность множества решительно никакого отношения к компактности не имеет.

[worm2]

Ну хорошо. Давайте рассмотрим два пространства $A = L_{\infty}[-1, 1]$ и $B = L_2[-1, 1]$. Будем в них обоих рассматривать подмножество $M$ функций с конечной ess sup, не превосходящей по модулю единицы. Если мы рассматриваем $M$ в метрике $A$, будем писать $M_A$, если в метрике $B$, будем писать $M_B$.
$M_A$ и $M_B$ хороши: оба замкнутые, в обоих существуют счётные всюду плотные множества.

Однако в $M_B$ можно выбрать $\varepsilon$-сеть (конечное подмножество функций, обладающее тем свойством, что множество шаров радиуса $\varepsilon$ с центрами в этих функциях покрывает всё $M_B$) для сколь угодно малого $\varepsilon$. Конкретно, в качестве этой $\varepsilon$-сети можно выбрать некоторое конечное подмножество линейных сплайнов на достаточно густой регулярной сетке.

А вот в $M_A$ $\varepsilon$-сети при, скажем, $\varepsilon=0.1$ выбрать нельзя! Т.е. не все функции можно приблизить с указанной точностью заранее заданным конечным подмножеством.

Чем же это так хорошо $M_B$ и плохо $M_A$? Может быть, это из-за того, что $M_B$ обладает каким-то полезным свойством, которым не обладает $M_A$?

[ewert]

Во-первых, я так и не понял, почему компактность существенна для приближений и какую пользу это даёт для сельского хозяйства полёта технической мысли. Во-вторых, Вы зачем-то считаете, что единичный шар из $L_{\infty}$ компактен в $L_2$, а напрасно: посмотрите хотя бы на последовательность функций $f_n(x)=\sin(\pi nx)$.

[worm2]

ewert писал(а):

Во-вторых, Вы зачем-то считаете, что единичный шар из $L_{\infty}$ компактен в $L_2$, а напрасно...

Действительно... пример неудачный, сей шар — не компакт
Но тогда я, получается, наврал и про существование $\varepsilon$-сети в нём, и про приближение сплайнами, и в том, что $M_B$ — "хорошее" множество. Оно "плохое". Надо было тут замутить липшицевость какую-нибудь...

Цитата:

Во-первых, я так и не понял, почему компактность существенна для приближений и какую пользу это даёт для сельского хозяйства полёта технической мысли.

Если $M$ — компакт, то в нём существует $\varepsilon$-сеть для сколь угодно малого $\varepsilon>0$, инфа 100% То есть компактность и существование $\varepsilon$-сети тесно связаны. Конечно, из существования $\varepsilon$-сети компактность не следует. Но... предкомпактность наверняка будет. И это делает связь ещё теснее.

Сейчас глянул в свои лекции по численным методам. Слава богу, там ошибочного примера из моего предыдущего сообщения нет. Я вводил понятие компакта, только когда доходил до методов решения некорректных задач. В методе подбора $\varepsilon$-сеть появляется сама собой, и почти столь же естественно возникает понятие компактности.

-- Ср окт 20, 2010 15:32:27 --

P.S. ewert, если Вы имеете в виду, что компактность "в чистом виде" бесполезна для практики, а полезна только какая-нибудь предкомпактность, секвенциальная компактность или слабая компактность, то тут я даже и не собирался с Вами спорить. В такие тонкости я не хочу влезать.

[ewert]

worm2 в сообщении #363862 писал(а):

Конечно, из существования $\varepsilon$-сети компактность не следует. Но... предкомпактность наверняка будет. И это делает связь ещё теснее.

Предкомпактность равносильна существованию конечной $\varepsilon$-сети. Во всяком случае, в полных пространствах (пусть даже метрических). Про неполные -- не уверен, но там этот вопрос и малоинтересен.

worm2 в сообщении #363862 писал(а):

Я вводил понятие компакта, только когда доходил до методов решения некорректных задач. В методе подбора $\varepsilon$-сеть появляется сама собой, и почти столь же естественно возникает понятие компактности.

Мне рассказывать некорректные задачи не доводилось (и даже, кажется, самому учить), поэтому не знаю, насколько естественно. Но что-то сильно сомневаюсь, что это хоть сколько-то полезно для построения вычислительных процедур. Для доказательства существования решения -- полезно, а вот для вычислений...

[feag]

У меня такое предложение, если никто до нас такого не делал на этом сайте, давайте сделаем список таких "индуктивных книг"!
Я начинаю М.Кац.СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, АНАЛИЗЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (ТЕРВЕР, ТЧ?)

(Оффтоп)

http://www.ega-math.narod.ru/Books/Kac63.djv

P.S. очень буду рад книгам Арнольда, с вашими комментариями, о чем там речь собсно.

[paha]

worm2 в сообщении #363862 писал(а):

Если $M$ — компакт, то в нём существует $\varepsilon$-сеть для сколь угодно малого $\varepsilon>0$, инфа 100%

для этого компакт должен быть метрическим пространством:)))
И Вы забыли упомянуть главное: эта сеть в метрическом компакте может быть выбрана конечной

-- Пн янв 31, 2011 18:23:18 --

ewert в сообщении #363976 писал(а):

Во всяком случае, в полных пространствах (пусть даже метрических).

что такое полное/неполное неметризуемое пространство вообще непонятно... разве что пространство с равномерностью, но это в приложениях -- экзотика

[worm2]

paha, там выше всё это имелось в виду. $\varepsilon$-сеть изначально понималась как конечное множество, и речь велась о том, как попроще пояснить прикладникам (у которых все пространства метрические), на пальцах, что такое компактность.

[alex1910]

ewert в сообщении #362801 писал(а):

AlexandreII в сообщении #362797 писал(а):

4. И наконец самое важное: e описывает год рождения Льва Толстого (1828) 2,718281828....

Вот это -- единственно, что содержательно. Студенты этому обычно радуются.

Забыли еще углы равнобедренного прямоугольного треугольника:)

e=2.7 1828 1828 45 90 45

[brimal]

Есть общее противоречие:"Преподаватель видит общее, учащийся только частное". Среднее образование
это поняло, поэтому там громадное внимание уделяется методологии. Высшее до сих пор нет.

[alex1910]

brimal в сообщении #408450 писал(а):

Есть общее противоречие:"Преподаватель видит общее, учащийся только частное". Среднее образование
это поняло, поэтому там громадное внимание уделяется методологии. Высшее до сих пор нет.

А вы давно живого школьника видели? Типичный представитель не видит ни общего ни частного. А методология почти всюду (кроме пары десятков сильных матшкол) никуда не годится.

[s.o.s.]

feag в сообщении #407218 писал(а):

У меня такое предложение, если никто до нас такого не делал на этом сайте, давайте сделаем список таких "индуктивных книг"!
Я начинаю М.Кац.СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, АНАЛИЗЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (ТЕРВЕР, ТЧ?)

(Оффтоп)

http://www.ega-math.narod.ru/Books/Kac63.djv

P.S. очень буду рад книгам Арнольда, с вашими комментариями, о чем там речь собсно.

Поддерживаю!
При чём особенно хотелось такие книги
для дифференциальной геометрии, топологии,
которые мне кажутся каким-то далёким, изолированным миром.

[Munin]

Он не изолированный, он просто "за тридевять земель": до дифференциальной геометрии надо добираться через матанализ, а до топологии - через алгебру (есть ещё общая топология, мало связанная с алгебраической, до неё - через теорию множеств).

[feag]

Неплохо бы сделать что-то вроде карты математики
Вот пример:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=6595