2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Я писал(а):
...вопрос Б: а существует ли вообще функция $X$ (хоть решение, хоть не решение), к которой нельзя неограниченно приблизиться... что же значит "Б неверно"? Это и есть компактность...
Вообще-то, конечно, и здесь есть к чему придраться: отрицание Б несколько сильнее компактности. Если пытаться устранить этот огрех, видимо, придётся уже переходить к каноническому определению, которое не столь наглядно... На практике всё же обычно имеют дело с функциями, априори ограниченными, поэтому такая жертва некоторой долей строгости в пользу наглядности на этапе объяснения "на пальцах" может быть оправдана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 21:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
worm2 в сообщении #363303 писал(а):
вопрос Б: а существует ли вообще функция $X$ (хоть решение, хоть не решение), к которой нельзя неограниченно приблизиться (таким путём)? <...> Но что же значит "Б неверно"? Это и есть компактность множества сеточных функций.

Госсподи, да при чём же тут компактность-то. "Б неверно" -- означает лишь то, что множество тех модельных функций (пусть сплайнов, какая разница) является плотным пространнстве приближаемых функций. Но плотность множества решительно никакого отношения к компактности не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение19.10.2010, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Ну хорошо. Давайте рассмотрим два пространства $A = L_{\infty}[-1, 1]$ и $B = L_2[-1, 1]$. Будем в них обоих рассматривать подмножество $M$ функций с конечной ess sup, не превосходящей по модулю единицы. Если мы рассматриваем $M$ в метрике $A$, будем писать $M_A$, если в метрике $B$, будем писать $M_B$.
$M_A$ и $M_B$ хороши: оба замкнутые, в обоих существуют счётные всюду плотные множества.

Однако в $M_B$ можно выбрать $\varepsilon$-сеть (конечное подмножество функций, обладающее тем свойством, что множество шаров радиуса $\varepsilon$ с центрами в этих функциях покрывает всё $M_B$) для сколь угодно малого $\varepsilon$. Конкретно, в качестве этой $\varepsilon$-сети можно выбрать некоторое конечное подмножество линейных сплайнов на достаточно густой регулярной сетке.

А вот в $M_A$ $\varepsilon$-сети при, скажем, $\varepsilon=0.1$ выбрать нельзя! Т.е. не все функции можно приблизить с указанной точностью заранее заданным конечным подмножеством.

Чем же это так хорошо $M_B$ и плохо $M_A$? Может быть, это из-за того, что $M_B$ обладает каким-то полезным свойством, которым не обладает $M_A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение20.10.2010, 08:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Во-первых, я так и не понял, почему компактность существенна для приближений и какую пользу это даёт для сельского хозяйства полёта технической мысли. Во-вторых, Вы зачем-то считаете, что единичный шар из $L_{\infty}$ компактен в $L_2$, а напрасно: посмотрите хотя бы на последовательность функций $f_n(x)=\sin(\pi nx)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение20.10.2010, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
ewert писал(а):
Во-вторых, Вы зачем-то считаете, что единичный шар из $L_{\infty}$ компактен в $L_2$, а напрасно...
Действительно... пример неудачный, сей шар — не компакт :oops:
Но тогда я, получается, наврал и про существование $\varepsilon$-сети в нём, и про приближение сплайнами, и в том, что $M_B$ — "хорошее" множество. Оно "плохое". Надо было тут замутить липшицевость какую-нибудь...

Цитата:
Во-первых, я так и не понял, почему компактность существенна для приближений и какую пользу это даёт для сельского хозяйства полёта технической мысли.

Если $M$ — компакт, то в нём существует $\varepsilon$-сеть для сколь угодно малого $\varepsilon>0$, инфа 100% :D То есть компактность и существование $\varepsilon$-сети тесно связаны. Конечно, из существования $\varepsilon$-сети компактность не следует. Но... предкомпактность наверняка будет. И это делает связь ещё теснее.

Сейчас глянул в свои лекции по численным методам. Слава богу, там ошибочного примера из моего предыдущего сообщения нет. Я вводил понятие компакта, только когда доходил до методов решения некорректных задач. В методе подбора $\varepsilon$-сеть появляется сама собой, и почти столь же естественно возникает понятие компактности.

-- Ср окт 20, 2010 15:32:27 --

P.S. ewert, если Вы имеете в виду, что компактность "в чистом виде" бесполезна для практики, а полезна только какая-нибудь предкомпактность, секвенциальная компактность или слабая компактность, то тут я даже и не собирался с Вами спорить. В такие тонкости я не хочу влезать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение20.10.2010, 17:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
worm2 в сообщении #363862 писал(а):
Конечно, из существования $\varepsilon$-сети компактность не следует. Но... предкомпактность наверняка будет. И это делает связь ещё теснее.

Предкомпактность равносильна существованию конечной $\varepsilon$-сети. Во всяком случае, в полных пространствах (пусть даже метрических). Про неполные -- не уверен, но там этот вопрос и малоинтересен.

worm2 в сообщении #363862 писал(а):
Я вводил понятие компакта, только когда доходил до методов решения некорректных задач. В методе подбора $\varepsilon$-сеть появляется сама собой, и почти столь же естественно возникает понятие компактности.

Мне рассказывать некорректные задачи не доводилось (и даже, кажется, самому учить), поэтому не знаю, насколько естественно. Но что-то сильно сомневаюсь, что это хоть сколько-то полезно для построения вычислительных процедур. Для доказательства существования решения -- полезно, а вот для вычислений...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение31.01.2011, 18:05 
Аватара пользователя


31/08/09
46
У меня такое предложение, если никто до нас такого не делал на этом сайте, давайте сделаем список таких "индуктивных книг"! :-)
Я начинаю М.Кац.СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, АНАЛИЗЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (ТЕРВЕР, ТЧ?)

(Оффтоп)

http://www.ega-math.narod.ru/Books/Kac63.djv


P.S. очень буду рад книгам Арнольда, с вашими комментариями, о чем там речь собсно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение31.01.2011, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
worm2 в сообщении #363862 писал(а):
Если $M$ — компакт, то в нём существует $\varepsilon$-сеть для сколь угодно малого $\varepsilon>0$, инфа 100% :D

для этого компакт должен быть метрическим пространством:)))
И Вы забыли упомянуть главное: эта сеть в метрическом компакте может быть выбрана конечной

-- Пн янв 31, 2011 18:23:18 --

ewert в сообщении #363976 писал(а):
Во всяком случае, в полных пространствах (пусть даже метрических).

что такое полное/неполное неметризуемое пространство вообще непонятно... разве что пространство с равномерностью, но это в приложениях -- экзотика

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение31.01.2011, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
paha, там выше всё это имелось в виду. $\varepsilon$-сеть изначально понималась как конечное множество, и речь велась о том, как попроще пояснить прикладникам (у которых все пространства метрические), на пальцах, что такое компактность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение01.02.2011, 12:20 


21/07/10
555
ewert в сообщении #362801 писал(а):
AlexandreII в сообщении #362797 писал(а):
4. И наконец самое важное: e описывает год рождения Льва Толстого (1828) 2,718281828....

Вот это -- единственно, что содержательно. Студенты этому обычно радуются.



Забыли еще углы равнобедренного прямоугольного треугольника:)

e=2.7 1828 1828 45 90 45

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение03.02.2011, 00:15 
Заблокирован


17/02/10

493
Есть общее противоречие:"Преподаватель видит общее, учащийся только частное". Среднее образование
это поняло, поэтому там громадное внимание уделяется методологии. Высшее до сих пор нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение05.02.2011, 19:38 


21/07/10
555
brimal в сообщении #408450 писал(а):
Есть общее противоречие:"Преподаватель видит общее, учащийся только частное". Среднее образование
это поняло, поэтому там громадное внимание уделяется методологии. Высшее до сих пор нет.


А вы давно живого школьника видели? Типичный представитель не видит ни общего ни частного. А методология почти всюду (кроме пары десятков сильных матшкол) никуда не годится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение06.02.2011, 11:58 


12/03/10
98
feag в сообщении #407218 писал(а):
У меня такое предложение, если никто до нас такого не делал на этом сайте, давайте сделаем список таких "индуктивных книг"! :-)
Я начинаю М.Кац.СТАТИСТИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, АНАЛИЗЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (ТЕРВЕР, ТЧ?)

(Оффтоп)

http://www.ega-math.narod.ru/Books/Kac63.djv


P.S. очень буду рад книгам Арнольда, с вашими комментариями, о чем там речь собсно.

Поддерживаю!
При чём особенно хотелось такие книги
для дифференциальной геометрии, топологии,
которые мне кажутся каким-то далёким, изолированным миром.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение06.02.2011, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Он не изолированный, он просто "за тридевять земель": до дифференциальной геометрии надо добираться через матанализ, а до топологии - через алгебру (есть ещё общая топология, мало связанная с алгебраической, до неё - через теорию множеств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение09.02.2011, 17:16 
Аватара пользователя


31/08/09
46
Неплохо бы сделать что-то вроде карты математики
Вот пример:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=6595 :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group