2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение17.10.2010, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Виктор Викторов в сообщении #362800 писал(а):
Здесь на числовой прямой "замкнутость вкупе с ограниченностью" множества равносильна тому, что из каждого открытого покрытия этого множества можно выделить открытое подпокрытие и ... метрическое понятие "ограниченность" исчезло. Можно определять компактность в топологическом пространстве.

Пропущено слово "конечное". Здесь на числовой прямой "замкнутость вкупе с ограниченностью" множества равносильна тому, что из каждого открытого покрытия этого множества можно выделить конечное открытое подпокрытие и ... метрическое понятие "ограниченность" исчезло.

Виктор Викторов в сообщении #362780 писал(а):
4. А почему в определении индуцированной топологии открытым определяется каждое множество, пересекающееся с открытым множеством в объемлющем пространстве? Уж лучше было бы считать открытым каждое множество открытое в объемлющем пространстве.

Почти как у Пушкина. "Пропущенная глава". Рассмотрим вложение множества в пространство (каждый элемент множества сопоставлен сам себе), индуцированная топология (открытым определяется каждое множество, пересекающееся с открытым множеством в объемлющем пространстве) наименьшая топология при которой отображение вложения непрерывно. Поэтому, плохо было бы считать открытым только каждое множество открытое в объемлющем пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Для прикладников компактность можно объяснить "на пальцах" примерно так: множество является компактным, если на нём можно "всё посчитать на компьютере" со сколь угодно высокой точностью.
Прикладник: а я всё могу посчитать на компьютере со сколь угодно высокой точностью, дайте только кластер помощнее.
Преподаватель: а Вы попробуйте приблизить функцию Хевисайда непрерывными функциями в норме $\mathbf{C}[]$.
Прикладник (погуглив, кто такие Хевисайд и норма): Это глупо! Для таких задач надо норму менять.
Преподаватель: вот! Компактность как раз и есть неглупость нормы.
:D

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 13:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
worm2 в сообщении #363209 писал(а):
Преподаватель: а Вы попробуйте приблизить функцию Хевисайда непрерывными функциями в норме $\mathbf{C}[]$.
Прикладник (погуглив, кто такие Хевисайд и норма): Это глупо! Для таких задач надо норму менять.
Преподаватель: вот! Компактность как раз и есть неглупость нормы.
:D

осталось только выяснить, при чём тут компактность

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Возможно, функцию Хевисайда здесь я не очень удачно приплёл. Она сама не принадлежит $\mathbf{C}[]$. А поэтому непонятно, что же здесь проверяется на компактность.
Если взять последовательность сплайнов 1-й степени для $H(x)$ на сетках с равноотстоящими узлами, можно показать, что эта последовательность не является компактом в $\mathbf{C}[]$.
С одной стороны, можно взять другое множество сплайнов на тех же самых сетках, принимающие значение 1 на одной из точек сетки и 0 на других, и показать некомпактность проще и нагляднее, без $H(x)$.
С другой стороны, этот более простой и наглядный способ не даёт понимания, каким образом компактность вредна. А тут простая инженерная задача приближения функции не решается из-за отсутствия компактности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 16:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
worm2 в сообщении #363224 писал(а):
А тут простая инженерная задача приближения функции не решается из-за отсутствия компактности.

А какая задача-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 16:41 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
worm2 в сообщении #363224 писал(а):
А тут простая инженерная задача приближения функции не решается из-за отсутствия компактности.
А я всю жизнь считал, что из-за неполноты пространства...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 16:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Даже и полнота тут тоже не при чём. К тому же и $C$, и $L_{\infty}$ -- полны. Пространство линейных сплайнов -- разумеется, не полно; ну и что?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
ewert писал(а):
А какая задача-то?
Приблизить разрывную функцию непрерывной.
Ну хорошо, не обязательно разрывную. Почти разрывную :-) Хотя, с вычислительной точки зрения это несущественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 17:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну и при чём тут компактность-то?

Она неприближаема просто потому, что не входит в подпространство непрерывных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
А в $L_2$ очень даже приближаема. И совсем не потому, что $L_2$ "допускает" разрывные функции (теми же сплайнами приближаема). $L_{\infty}$ тоже допускает, однако с точки зрения практики ведёт себя так же, как $C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 17:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
worm2 в сообщении #363277 писал(а):
А в $L_2$ очень даже приближаема.

Странно было б иначе, раз уж она сама из $L_2$ (как минимум локально).

worm2 в сообщении #363277 писал(а):
$L_{\infty}$ тоже допускает, однако с точки зрения практики ведёт себя так же, как $C$.

И как же?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
ewert писал(а):
И как же?...
Указанная последовательность сплайнов не является в $L_{\infty}$ компактным множеством. А в $L_{2}$ — является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 17:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
worm2 в сообщении #363284 писал(а):
Указанная последовательность сплайнов не является в $L_{\infty}$ компактным множеством. А в $L_{2}$ — является.

Во-первых, так и не понятно, какая в точности последовательность. А во-вторых, если она сходится, то, разумеется, и предкомпактна. И что с того проку?

Призраков компактности по-прежнему не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
ewert писал(а):
Во-первых, так и не понятно, какая в точности последовательность.
На отрезке, содержащем 0 во внутренней точке (пусть будет $[-1,1]$) будем рассматривать сетки с постоянным шагом (они делят этот отрезок на 2, 3, 4, и т.д. равных подотрезков). На каждой такой сетке строится (интерполяционный) сплайн (первой степени) для функции Хевисайда $H(x)$. Построенное бесконечное множество сплайнов будет компактным или некомпактным в зависимости от метрики, которую мы выберем.
Цитата:
А во-вторых, если она сходится, то, разумеется, и предкомпактна. И что с того проку?
Я бы сейчас заострял внимание не на том, что она сходится, а, наоборот, на том, что если она компактна, то у неё есть предельная точка, которая, если повезёт, может быть... впрочем, зайду с другой стороны.

Пусть мы решаем какую-то задачу матфизики. Решаем численно: выбираем метод, строим сетку, как-нибудь аппроксимируем, считаем на компьютере. Встаёт вопрос А: сможем ли мы путём сгущения сетки и увеличения разрядности получить сколь угодно точное решение? Естественным образом с вопросом А связан вопрос Б: а существует ли вообще функция $X$ (хоть решение, хоть не решение), к которой нельзя неограниченно приблизиться (таким путём)? Если Б верно, то с А возникают проблемы: а вдруг наше решение именно такое, как это $X$? Если же Б неверно, есть повод для оптимизма.
Но что же значит "Б неверно"? Это и есть компактность множества сеточных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про странный способ изложения в математических книгах
Сообщение18.10.2010, 18:43 
Заслуженный участник


19/07/08
1266
ewert в сообщении #363268 писал(а):
Пространство линейных сплайнов -- разумеется, не полно; ну и что?...
Ну и всё (с)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group