Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок

[Padawan]

сахар
сечения Дедекинда вспомните, и поймёте, о чем Хорхе говорит.

[caxap]

Хорхе в сообщении #360248 писал(а):

Эт если Вы возьмете $x$ рациональное. Только же никто не заставляет...

Кажется понял. Рассмотрим множество $\{\mathbb Q \cap [0,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 0\}\subset \mathcal P(\mathbb Q)$, упорядоченное по включению. Этот лум имеет мощность континуум (т. к. $x\in \mathbb R$).

Но с $\mathcal P(\mathbb N)$ ничего придумать не удаётся, ибо решающим обстоятельством в последнем примере была плотность $\mathbb Q$.

[Padawan]

caxap в сообщении #359561 писал(а):

Хорхе в сообщении #359549 писал(а):

В а) легко придумать пример, если вместо $\mathbb N$ взять $\mathbb Q$.

М... не соображу. А что принципиально изменится, если заменить натуральные на рациональные? И там счётно и там.

[caxap]

Padawan
Но ведь натуральные числа не плотны! Не в каждом интервале есть натуральное число, поэтому $\{\mathbb N \cap [1,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 1\}=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\ldots\}$ счётно.

[Padawan]

Биекция между $\mathbb N$ и $\mathbb Q$ есть. Эта биекция порождает биекцию между $\mathcal{P} (\mathbb N)$ и $\mathcal{P}(\mathbb Q)$, биекцию между $\mathcal{P}(\mathcal{P} (\mathbb N))$ и $\mathcal{P}(\mathcal{P} (\mathbb Q))$ и т.д.

[caxap]

Padawan в сообщении #361126 писал(а):

Биекция между $\mathbb N$ и $\mathbb Q$ есть.

Но нам же нужна не просто биекция, а изоморфизм (сохраняющий порядок).

[Padawan]

Пусть $f\colon X\to Y$ -- биекция. Рассмотрим отображение $\varphi\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)$, полагая $\varphi(A)=f(A)$, где $A\in\mathcal P(X)$. Тогда 1) $\varphi$ биекция 2) если $A\subset B$, то $\varphi(A)\subset\varphi(B)$. Таким образом $\varphi$ -- изоморфизм ЧУМов $\mathcal P(X)$ и $\mathcal P(Y)$.

А Вам требуется изоморфизм ЧУМов $\mathcal P(\mathbb N)$ и $ \mathcal P(\mathbb Q)$

[caxap]

Дошло. Спасибо!

А вот тут в каком направлении думать?

caxap в сообщении #359547 писал(а):

93. Рассмотрим семейство всех подмножеств натурального ряда, упорядоченное по включению.
...
б) существует ли у него подсемейство мощности континуум, любые два элемента которого несравнимы?

[Someone]

caxap в сообщении #361189 писал(а):

А вот тут в каком направлении думать?

В том же. Попробуйте вместо натурального ряда рассмотреть множество рациональных чисел, стандартно вложенное в множество действительных чисел. И поищите в нём большое (мощности $2^{\aleph_0}$) семейство бесконечных подмножеств, любые два из которых пересекаются по конечному множеству (такие подмножества называются почти дизъюнктными).

[caxap]

Someone в сообщении #361190 писал(а):

И поищите в нём большое (мощности $2^{\aleph_0}$) семейство бесконечных подмножеств, любые два из которых пересекаются по конечному множеству

Так как рац. числа плотны, то, чтобы подмножества пересекались по конечному множеству, они не должны содержать общий интервал. Единственное, что приходит в голову: разбить числовую ось рац. числами (напр. целыми) и рассматривать интервалы между ними с включенными концами (напр. $\{\mathbb Q\cap [n,n+1]\mid n\in \mathbb N\}$. Но это множество счётно.

[Null]

Можно так: множества пересекающиеся с каждым $\{2n-1,2n\}$ по одному элементу.

[Someone]

caxap в сообщении #361219 писал(а):

Единственное, что приходит в голову: разбить числовую ось рац. числами (напр. целыми) и рассматривать интервалы между ними с включенными концами

Да зачем её разбивать? Не надо ничего разбивать. И вообще, зачем Вам такие "толстые" множества? Возьмите последовательности рациональных точек. И ограничьтесь, например, отрезком $[0,1]$ (но это не обязательно).

[Хорхе]

caxap в сообщении #361219 писал(а):

(напр. $\{\mathbb Q\cap [n,n+1]\mid n\in \mathbb N\}$. Но это множество счётно.

Так возьмите $n$ не натуральное, а

ИСН писал(а):

- - -

[caxap]

Хорхе
Дошло! Спасибо! Т. е. берём множество $\{\mathbb Q\cap [x,x+1]\mid x\in \mathbb R\}$: оно имеет мощность континуума и любые два элемента несравнимы. А $\mathcal P(\mathbb Q)$ и $\mathcal P(\mathbb N)$ изоморфны.

Кстати, есть какой-нибудь символ для обозначения изоморфизма?

[Padawan]

caxap в сообщении #361373 писал(а):

Кстати, есть какой-нибудь символ для обозначения изоморфизма?

$\simeq$ или $\cong$ ?