Постулаты СТО противоречат друг другу?

[vicont]

Someone в сообщении #360090 писал(а):

Ну, особых возражений у меня нет. За исключением того, что вся эта морока с вращающимся прожектором, экраном и зайчиком является ненужной. Собственно, суть дела состоит в том, что прожектор с очень малой задержкой отправляет два сигнала - в точки $A$ и $B$. Для этого ему совсем не нужно вращаться, просто нужно взять источник, который может послать два сигнала в нужных направлениях. Погрешность, возникающую из-за задержки между двумя сигналами, также можно ликвидировать, послав оба сигнала одновременно. При этом не будет необходимости выбирать точку $C$ очень далеко от точек $A$ и $B$. А тогда можно отказаться от направленного источника, пусть он просто даёт вспышку света, распространяющуюся во всех направлениях (если, конечно, точки $A$ и $B$ сами по себе находятся не слишком далеко друг от друга).

Неплохо бы разобраться, что у нас получится. Поместим в точке $C$ ещё одни часы. Имея часы в трёх точках, мы можем измерить скорости $c_{CA}$ и $c_{CB}$ на отрезках $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$. Если мы одновременно отправим сигналы из точки $C$ в точки $A$ и $B$, то эти сигналы придут в точки $A$ и $B$ одновременно (в силу предлагаемого способа синхронизации). Поэтому получится $c_{CA}=c_{CB}$, так как и расстояния от $C$ до $A$ и $B$ одинаковые. Наоборот, если мы захотим, чтобы эти скорости были одинаковыми, мы должны использовать описанный метод синхронизации часов (или эквивалентный ему). Таким образом, выбор данного метода синхронизации часов равносилен соглашению, что скорости света в некоторых направлениях одинаковые (я не хочу это подробно расписывать, но легко убедиться, что скорость света окажется одинаковой во всех направлениях).

Пусть наша система отсчета движется относительно абсолютной системы отсчета с некоторой скоростью $V. Тогда скорость света в зависимости от направления в нашей СО будет $c_\alpha ^2=c^2+V^2-2cVcos\alpha , где $c - скорость света в АСО, $\alpha угол между направлением скорости нашей СО и направлением луча света.
Если угол между направлением $V и направлением соединяющим точку С с серединой АВ обозначить $\alpha, тогда углы между $V и СА, и СВ будут $\alpha +\beta и $\alpha -\beta соответственно.
Разница времени прихода сигнала в А и В будет $\Delta t=R/\sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha+\beta)}-R/\sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha-\beta)}=|AB|/(sin\beta \sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha+\beta)})-|AB|/(sin\beta \sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha-\beta)}) где $R - расстояние между С и А, и между С и В тоже.
При синхронизации часов А и В световым сигналом по Эйнштейну направление сигналов, коротые будут двигаться между А и В будут характеризоваться углами $\alpha +90 и $\alpha -90. Разница показаний часов, которые мы выставим таким образом, будет
$\Delta t=(|AB|/\sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha+90)}-|AB|/\sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha-90)})/2
Видно, что когда $\beta стремится к нулю, то разница времен прихода сигналов в А и В также стремится к нулю (а разница выставленная по эйнштейновской синхронизации постоянна и для выбранного направления АВ). Поэтому условие максимальной удаленности источника сигналов от часов существенно и его отбросить нельзя.

Someone в сообщении #360517 писал(а):

Применяя этот метод для синхронизации часов, расположенных на сфере с центром в точке $C, мы обнаружим, что сигналы, выходящие из точки $C, во всех направлениях распространяются с одной и той же скоростью.

А не надо синхронизировать все часы скопом одним сигналом. Это совсем не та синхронизация, которую я предлагал.

[Munin]

vicont в сообщении #360702 писал(а):

Пусть наша система отсчета движется относительно абсолютной системы отсчета с некоторой скоростью $V$.

Этого недостаточно для задания системы пространственно-временных координат. Изложите подробнее, например, выпишите явно преобразования из координат АСО.

[vicont]

Munin в сообщении #360717 писал(а):

Этого недостаточно для задания системы пространственно-временных координат. Изложите подробнее, например, выпишите явно преобразования из координат АСО.

А о каких преобразованиях может идти речь, если мы нашу СО только размечаем? У нас есть только гипотетическая АСО, в которой скорость света одинакова во всех направлениях. И смотрим с точки зрения этой АСО, насколько разметка временной координаты в нашей СО будет отличаться от разметки в АСО при применении выбранной процедуры синхронизации.

[Munin]

vicont в сообщении #360732 писал(а):

А о каких преобразованиях может идти речь, если мы нашу СО только размечаем?

Если у вас нет преобразований, или чего-то эквивалентного (задания скорости хода часов и синхронизации, например), то вы не можете выписывать формулы типа $c_\alpha^2=\ldots$ И вообще произносить, что вы находитесь в движущейся системе отсчёта, если на то пошло.

vicont в сообщении #360732 писал(а):

У нас есть только гипотетическая АСО, в которой скорость света одинакова во всех направлениях. И смотрим с точки зрения этой АСО, насколько разметка временной координаты в нашей СО будет отличаться от разметки в АСО при применении выбранной процедуры синхронизации.

В этом случае вы не можете выписывать никаких скоростей в вашей СО, если вы их не постулируете.

[vicont]

Munin в сообщении #360741 писал(а):

vicont в сообщении #360732 писал(а):

А о каких преобразованиях может идти речь, если мы нашу СО только размечаем?

Если у вас нет преобразований, или чего-то эквивалентного (задания скорости хода часов и синхронизации, например), то вы не можете выписывать формулы типа $c_\alpha^2=\ldots$ И вообще произносить, что вы находитесь в движущейся системе отсчёта, если на то пошло.

Преобразования координат являются следствием разметки систем отсчета. Разумеется, если не задаться целью получить те преобразования, которые нам хочется. И если я нахожусь в какой-то системе отсчета, то не имеет значения, размечена она или нет. А кто же ее разметит, если в ней никто не находится?

Цитата:

vicont в сообщении #360732 писал(а):

У нас есть только гипотетическая АСО, в которой скорость света одинакова во всех направлениях. И смотрим с точки зрения этой АСО, насколько разметка временной координаты в нашей СО будет отличаться от разметки в АСО при применении выбранной процедуры синхронизации.

В этом случае вы не можете выписывать никаких скоростей в вашей СО, если вы их не постулируете.

А я и не выписывал никаких скоростей в неразмеченной СО. Я выписал скорости в АСО.
О какой разнице в показаниях часов А и В можно говорить в нашей СО? Мы ведь их считаем синхронными после соответствующей процедуры. А вот из АСО вопрос об этой разнице вполне корректно. Вот именно в ней я и расчитал эту разницу. (АСО ведь уже размечена)

[Munin]

vicont в сообщении #360748 писал(а):

И если я нахожусь в какой-то системе отсчета, то не имеет значения, размечена она или нет.

Простите, "неразмеченная система отсчёта" - это какая-то ваша личная фантазия, соответствия которой не находится в общепринятой физике. Вам придётся строго и подробно ввести это понятие.

vicont в сообщении #360748 писал(а):

А я и не выписывал никаких скоростей в неразмеченной СО. Я выписал скорости в АСО.

Вот это ваши слова?

vicont в сообщении #360702 писал(а):

Тогда скорость света в зависимости от направления в нашей СО будет $c_\alpha ^2=c^2+V^2-2cVcos\alpha , где $c - скорость света в АСО...

[Someone]

vicont в сообщении #360702 писал(а):

Разница времени прихода сигнала в А и В будет $\Delta t=R/\sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha+\beta)}-R/\sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha-\beta)}=|AB|/(sin\beta \sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha+\beta)})-|AB|/(sin\beta \sqrt{c^2+V^2-2cVcos(\alpha-\beta)}) где $R - расстояние между С и А, и между С и В тоже.

Если эта задержка зависит от $R$ (или, что то же самое, от $\beta$), то метод синхронизации световым зайчиком некорректен, ибо в нём прямо предлагается использовать различные значения $R$, желательно большие. Возможно, Вы неявно использовали некоторые предположения , которые не выполняются.

vicont в сообщении #360702 писал(а):

Видно, что когда $\beta стремится к нулю, то разница времен прихода сигналов в А и В также стремится к нулю

А Вы этот предел вычисляли? Мне, например, совсем "не видно": в знаменателях дробей стоит $\sin\beta$, который стремится к нулю. (По секрету скажу: я этот предел вычислил, и получил совсем не ноль.)

vicont в сообщении #360702 писал(а):

А не надо синхронизировать все часы скопом одним сигналом. Это совсем не та синхронизация, которую я предлагал.

Почему "одним"? Даже пара часов синхронизируется не одним сигналом, а двумя. И если Вы устанавливаете на этих часах одинаковое время, то автоматически скорости синхронизирующих сигналов становятся одинаковыми.

[vicont]

Munin в сообщении #360758 писал(а):

vicont в сообщении #360748 писал(а):

А я и не выписывал никаких скоростей в неразмеченной СО. Я выписал скорости в АСО.

Вот это ваши слова?

vicont в сообщении #360702 писал(а):

Тогда скорость света в зависимости от направления в нашей СО будет $c_\alpha ^2=c^2+V^2-2cVcos\alpha , где $c - скорость света в АСО...

Прошу прощения, я оговорился. Это не скорость в нашей СО, а разница скоростей тела отсчета нашей СО и света в зависимости от направления. То же самое касается и остальных скоростей.

[Munin]

Теперь ясно, спасибо. Про предел согласен с Someone.

[Someone]

vicont, ещё одно замечание сделаю. Вы ведь делаете вычисления, неявно предполагая, что справедлива классическая механика. В этом случае движущийся равнобедренный треугольник остаётся равнобедренным. И тогда метод синхронизации часов световым "зайчиком" в движущейся системе будет противоречивым, пользоваться им нельзя. Но метод Эйнштейна тоже будет противоречивым (рассмотрите часы в вершинах прямоугольного треугольника, один из катетов которого параллелен скорости системы в АСО).
Мои же рассуждения относятся к случаю, когда один из этих методов непротиворечив и, следовательно, мы имеем дело не с классической механикой. Поэтому у нас нет никаких оснований считать, что движущийся равнобедренный треугольник останется равнобедренным(точнее: движущийся треугольник, равнобедренный в собственной системе отсчёта, не обязан быть равнобедренным в "неподвижной" системе).

myhand в сообщении #360651 писал(а):

Как я заметил раньше - запускаются они вовсе не одновременно в рамках рассмотренного конкретного механизма (равномерного вращения источника, пускающего "зайчик").

Да. Как я понял, эта задержка сигнала рассматривается как погрешность метода, которую можно уменьшить, увеличивая расстояние от прожектора до синхронизируемых часов и/или угловую скорость вращения прожектора. Боюсь, что если эта задержка является существенным элементом метода, то метод является противоречивым, поскольку синхронизация конкретной пары часов будет зависеть от выбора расстояния и угловой скорости, о которых сказано только, что их желательно выбрать как можно большими. Поэтому задержку следует исключить, хотя бы сделав настолько малой, чтобы она не влияла на результаты измерений с доступной точностью.

myhand в сообщении #360651 писал(а):

Someone, Вы действительно имели это в виду?

Ну, когда я писал это, я ни о каком предельном переходе при $\omega\to\infty$ не думал. Я просто сформулировал метод так, чтобы задержки не было. Но результат тот же самый.

[vicont]

Someone в сообщении #360759 писал(а):

А Вы этот предел вычисляли? Мне, например, совсем "не видно": в знаменателях дробей стоит $sin \beta , который стремится к нулю. (По секрету скажу: я этот предел вычислил, и получил совсем не ноль.)

Каюсь, грешен, не вычислял. Хотя было смутное подозрение, что не все так просто, как кажется, потому и выразил расстояние от часов через $\beta. Благодарю за указание на мою ошибку.

Someone в сообщении #360827 писал(а):

vicont, ещё одно замечание сделаю. Вы ведь делаете вычисления, неявно предполагая, что справедлива классическая механика. В этом случае движущийся равнобедренный треугольник остаётся равнобедренным. И тогда метод синхронизации часов световым "зайчиком" в движущейся системе будет противоречивым, пользоваться им нельзя.

Вы правы. Именно это я и предполагал.

А что вы думаете о синхронизации посредством одновременного перекрытия двух паралельных лучей света?

[myhand]

Munin в сообщении #360692 писал(а):

Не только конечная, но и с существенным разбросом

Ну, я уже согласился с Вами. Только Вы решали чуть иную задачку, чем мы обсуждали.

Есть отрезок $AB$ длины $L$. Вращающийся источник в $O$ равноудален от этих точек ($A$ и $B$) и излучает в направлении точки $A$ в момент $t=0$, соответственно сигнал доходит до $A$ в момент $t_1 = R / v_1$. После того, как источник повернулся в сторону $B$, т.е. на угол $\delta \phi \approx L / R$ и, соответственно, прошло времени $\delta t = \delta \phi / \omega$ с начального момента - он излучает в сторону точки $B$, сигнал туда придет в $t_2 = \delta t + R / v_2$ (предполагаем, что в другую сторону источник излучает частицы с иной скоростью). Лучевую скорость "зайчика" получим как

$$u = L / (t_2 - t_1) = \frac{\omega R}{1 + \frac{R}{L}\frac{\omega R \Delta v}{v_1 v_2}}$$

Munin в сообщении #360692 писал(а):

$\tau$ зависит от скорости вращения "прожектора", и только.

Munin в сообщении #360692 писал(а):

Пока она велика (кстати, кажется, это не частота, а угловая скорость "зайчика"), не важно. Если она будет сделана слишком мала, у вас никакой синхронизации не получится

Соответственно, Ваше $\tau$ таки зависит от $R$, но дела это не меняет. И большое $\omega$, кстати, не спасет синхронизацию.

Хорошо, изотропность источника существенна, я это уже признал выше.

Тем не менее, есть еще один вариант косвенной проверки на изотропность. Несложно увидеть, что разместив отрезок $AB$ не только на разных расстояниях $R$ от $O$, но и под углом к медиане для данного отрезка - асимптотика лучевой скорости, как функции $R$ не изменится существенно (будет $\sim R$ снова).

Во-вторых, если источник $O$ излучает неизотропно - метод синхронизации будет попросту противоречив. Увеличиваем $R$ - и он перестает работать.

Munin в сообщении #360692 писал(а):

Либо можно проверять, что она достаточно большая, опираясь на световую синхронизацию.

... либо можно проверять непротиворечивость (и необходимые свойства процедуры, такие как рефлексивность и транзитивность) синхронизации "зайчиком", размещая вращающийся источник (или разные одинаковые источники) на разных расстояниях от точек $A$ и $B$, под углом к отрезку $AB$.

Видимо, это действительно не дает ничего принцпиально нового - просто иной (более сложный) вариант синхронизации с изотропным источником частиц (как у Эйнштейна, только вместо света - изпользуем в качестве источника распад покоящейся частицы на две одинаковые).

Someone в сообщении #360827 писал(а):

Да. Как я понял, эта задержка сигнала рассматривается как погрешность метода, которую можно уменьшить, увеличивая расстояние от прожектора до синхронизируемых часов и/или угловую скорость вращения прожектора.

Примерно так, это $\delta t$ в формулах выше.

[kkdil]

vicont в сообщении #360702 писал(а):

Поэтому условие максимальной удаленности источника сигналов от часов существенно и его отбросить нельзя.

Чтобы не заниматься пределами, достаточно использовать теорему Пифагора, из которой получается одинаковый результат для любых расстояний. Имхо конечно.

[Munin]

myhand в сообщении #361036 писал(а):

Ну, я уже согласился с Вами.

Ну откуда ж мне было об этом знать на тот момент, когда я писал свой ответ? :-) Тогда вы ещё не согласились, а только спрашивали.

myhand в сообщении #361036 писал(а):

Только Вы решали чуть иную задачку, чем мы обсуждали.

На самом деле, именно ту, только рисунок я чуть-чуть упростил (впрочем, не в ущерб его соответствию вычислениям. В моих вычислениях фигурировал угол $\varphi$ между направлениями $OA$ и $OB$ ($CA$ и $CB$), просто я его в конечном результате не показывал. А там, где переходил от $L$ к $R,$ писал не знак "$=$", а знак "$\sim$". То есть всего лишь не считал этот угол малым параметром. От этого предположения у меня только одна формула зависит.

myhand в сообщении #361036 писал(а):

Лучевую скорость "зайчика" получим как

$$u = L / (t_2 - t_1) = \frac{\omega R}{1 + \frac{R}{L}\frac{\omega R \Delta v}{v_1 v_2}}$$

Это в точности моя формула из post360548.html#p360548 , поскольку $\tau=\varphi/\omega=(L/R)/\omega$ ($L$ - длина дуги, по которой, собственно, бежит "зайчик").

myhand в сообщении #361036 писал(а):

Munin в сообщении #360692 писал(а):

$\tau$ зависит от скорости вращения "прожектора", и только.

Munin в сообщении #360692 писал(а):

Пока она велика (кстати, кажется, это не частота, а угловая скорость "зайчика"), не важно. Если она будет сделана слишком мала, у вас никакой синхронизации не получится :-)

Соответственно, Ваше $\tau$ таки зависит от $R$...

Не понимаю, как вы делаете такой вывод. $\tau$ вы выбираете сами, понимаете? Это параметр "прожектора". Если хотите, поставьте его в зависимость от $R$ (например, разгоняя "прожектор" при увеличении размеров системы), если не хотите - не ставьте. Погрешность синхронизации (пока вы находитесь в пределах классической механики) у вас ограничена снизу этим самым $\tau,$ так что вам самому выгодно сделать его как можно меньше. Но никто не заставляет. Когда речь идёт о естественных "прожекторах", например, пульсарах, $\tau$ ни от чего не зависит, кроме $\varphi$, поскольку $\omega$ фиксировано.

myhand в сообщении #361036 писал(а):

Тем не менее, есть еще один вариант косвенной проверки на изотропность. Несложно увидеть, что разместив отрезок $AB$ не только на разных расстояниях $R$ от $O$, но и под углом к медиане для данного отрезка - асимптотика лучевой скорости, как функции $R$ не изменится существенно (будет $\sim R$ снова).

Непонятно, что здесь вообще проверяется, и как.

myhand в сообщении #361036 писал(а):

Во-вторых, если источник $O$ излучает неизотропно - метод синхронизации будет попросту противоречив. Увеличиваем $R$ - и он перестает работать.

Нет никакой абсолютной изотропности или неизотропности скоростей (её существование было эквивалентно существованию абсолютной одновременности). Заявление "источник излучает с изотропными / неизотропными скоростями" корректно только в контексте какой-то выбранной синхронизации. Тогда да, для неизотропного источника мы можем сказать, что синхронизация этим источником - противоречит выбранной синхронизации. Но меняя выбранную синхронизацию, мы можем превратить изотропное распределение скоростей в неизотропное и обратно (точнее, обратно это будет легко только в случае дипольной анизотропии - той самой, на которую различаются односторонняя и двусторонняя проверки изотропности). Поэтому "работает" метод или не работает - тоже не абсолютный факт, а зависит от того, что мы принимаем или нет. Абсолютно мы можем констатировать только совпадение или несовпадение двух разных методов синхронизации.

myhand в сообщении #361036 писал(а):

... либо можно проверять непротиворечивость (и необходимые свойства процедуры, такие как рефлексивность и транзитивность) синхронизации "зайчиком"...

Только все эти проверки, даже если они будут успешны, не гарантируют совпадения синхронизации "зайчиком" с синхронизацией светом. Пример - звуковой "зайчик" в некоторой однородной поступательно движущейся среде.

[myhand]

Munin в сообщении #361052 писал(а):

Не понимаю, как вы делаете такой вывод. $\tau$ вы выбираете сами, понимаете?

Я не могу "выбрать его сам". Если он отличен от $\delta t$ - я просто "не попаду" в точку $B$.

Munin в сообщении #361052 писал(а):

Непонятно, что здесь вообще проверяется, и как.

Ну, я не знаю как сформулировать это понятнее. Вращающийся источник будет испускать частицы в разных направлениях пространства, судя по тому - разместим мы его так или иначе по отношению к отрезку $AB$. Если "светит" изотропно (т.е. скорости частиц не зависят от направления) - нам нужно только отойти подальше от источника и синхронизация будет работать (погрешность будет сколь угодно мала), от ориентации источника по отношению к $AB$ это не зависит (поправка к $t_2 - t_1$ будет $\sim L \ll R$). Если же источник излучает неизотропно - размещение его на разных расстояниях от $AB$, его различная ориентация - скажутся на возможности синхронизации. Она попросту станет противоречивой.

Munin в сообщении #361052 писал(а):

Поэтому "работает" метод или не работает - тоже не абсолютный факт, а зависит от того, что мы принимаем или нет.

Либо процедура является процедурой синхронизации - либо нет. Куда уж более абсолютно.

Соответственно (вернемся к нашим баранам), если работает - мы можем поставить вопрос о сравнении скоростей света в разных направлениях. Или о том, является ли построенная нами таким образом система отсчета инерциальной.