Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок

[caxap]

(Про плотность)

Хорхе в сообщении #359566 писал(а):

Насчет плотного и всюду плотного сложно сказать, что там имеется в виду, ибо оно из контекста вырвано.

Цитирую полностью:

Верещагин и Шень писал(а):

Теорема 14. Всякое счётное ЛУМ изоморфно некоторому подмножеству множества $\mathbb Q$.
$\lhd$ Заметим сразу же, что вместо множества $\mathbb Q$ можно было взять любое плотное счётное всюду плотное множество без первого и последнего элементов, так как они все изоморфны. ... (тут само доказательство) ... $\rhd$

Хорхе в сообщении #359566 писал(а):

Это если мощность конечная. А ежели бесконечная, и не такое бывает.

Кажись немного понял. Если мы из $\mathbb N$ выкинем конечное количество точек, то совокупность таких множеств могут образовывать лум (с порядком включения), хотя мощности одинаковые.

А как можно доказать, что существует лум мощности континуум?

Padawan
Спасибо.

[Padawan]

caxap в сообщении #359606 писал(а):

Padawan
Спасибо.

Не стоит, я понял, что мое решение неправильное

[Null]

Для получения ЛУМ мощности континуум надо взять бесконечное двоичное дерево в вершинах которого расположенны различные натуральные числа и каждой последовательности из нулей и единиц сопоставить множество по правилу:
0 - идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем
1 - идем направо текущую вершину и все вершины левого поддерева включаем.
получим что надо

[caxap]

Null в сообщении #359616 писал(а):

идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем

Ничего не понял

[Хорхе]

Null в сообщении #359616 писал(а):

Для получения ЛУМ мощности континуум надо взять бесконечное двоичное дерево в вершинах которого расположенны различные натуральные числа и каждой последовательности из нулей и единиц сопоставить множество по правилу:
0 - идем налево текущую вершину и все вершины правого поддерева не включаем
1 - идем направо текущую вершину и все вершины левого поддерева включаем.
получим что надо

Лучше назвать вершины этого дерева конечными двоичными дробями, а числа из (0,1) -- бесконечными, тогда будет практически тот пример, на который я намекал.

[Хорхе]

(Оффтоп)

И да, слова "всюду плотное" лишние. Такое бывает и со мной: напишу что-то неправильно, впишу затем правильное, а неправильное забываю удалить.

[caxap]

А можно ещё подсказку? Про дерево я не понял.

[Null]

Возьмите в качестве максимального множества рациональные точки отрезка (0;1). Их счетно.

[Хорхе]

Да, вот задача попроще.

Найдите в $\mathcal P(\mathbb R)$ несчетную цепь.

[caxap]

Хорхе в сообщении #360201 писал(а):

Найдите в $\mathcal P(\mathbb R)$ несчетную цепь.

$\{[0,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 0\}$ (порядок $\subset$)

[caxap]

Для $\mathcal P(\mathbb N)$ аналогичная цепь будет счётная.

[Хорхе]

caxap в сообщении #360240 писал(а):

Для $\mathcal P(\mathbb N)$ аналогичная цепь будет счётная.

Эт если Вы $x$ возьмете рациональное. Только же никто не заставляет...

[caxap]

Всё равно не понял...

Может так:
Каждой числу из отрезка $[0,x]\subset \mathbb R$ ($0< x< 1$, $x\in \mathbb R$) соответствует бесконечная двоичная дробь $0{,}a_1 a_2\ldots$ ($a_i \in\{0,1\}$). Каждой такой двоичной дроби сопоставим подмножество $A\subset\mathbb N$ таким образом, чтобы каждая единица на месте $k$ в той двоичной дроби (считая слева от запятой) означала включение числа $k$ в $A$ (например, дроби $0{,}(01)=0{,}010101\ldots$ соответствует множество всех чётных чисел). Тогда множеству $\{[0,x] \mid x \in \mathbb R \land 0 < x < 1\}$ с порядком $\subset$ будет соответствовать подмножество $\mathcal P(\mathbb N)$ с тем же порядком. Это биекция и раз первая цепь мощности континуум, то и вторая тоже.

[Null]

$x=0.5$ и $x=0.25$ подставьте. По-моему получаться $\{1\}$ и $\{2\}$.

[caxap]

Да, извиняюсь, бред написал. Вспоминается афоризм о том, что нет ничего лучше времени между враньём и его разоблачением получением доказательства и обнаружением ошибки в нём.