2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение13.07.2006, 18:38 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Кстати, сложение также применимо не всегда. Это зависит от физической природы величин. Например, складывать плотности веществ бессмысленно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
PAV, Вы имели в виду обратное написанному (т.е., перемножать, скажем, силу на путь можно - будет работа - а складывать их друг с другом довольно тупо), или как понимать?
Upd. Всё, я понял, вопрос отпал.
bot, и что же, философ не стал отбиваться и говорить, что здесь где-то вкрались нематематические термины?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.07.2006, 01:01 


28/06/06
61
Руст писал(а):
Approximator писал(а):
Прямые произведения и сумма множеств эквивалентны.

На самом деле категория множеств не самодуальна и поэтому разница между произведениями и суммами имеется, это приводит к разнице и для структур над категорией множеств и к некоторой двойственности между структурами алгебраического типа и непрерывного типа.
Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.
Из-за того, что категория множеств не эквивалентна своей двойственной, выявляется разница в сложении и умножении.


Согласен. Подразумевалось прямые сумма и произведение числовых множеств (или уж совсем по-буквоедски: конечного кол-ва абелевых групп) эквивалентны.

В такой редакции принимаете? :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.07.2006, 12:43 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
А мне понравилась эта идея с размерность.

Рассмотрим множество элементов с коммутативными сложением и умножением. Из этих элементов составим квадратные матрицы одного размера с матричными сложением и умножением. Матричное сложение останется коммутативным, а умножение - необязательно. В этом смысле сложение и умножение не есть одно и то же. Откуда берется это различие?

Снова рассмотрим исходное множество, но вместо умножения возьмем еще одно сложение, пусть то же самое, и опять составим матрицы. Различие сложения и умножения сохранится по-прежнему!

Получается, что это различие есть эффект размерности?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.07.2006, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
ИСН писал(а):
bot, и что же, философ не стал отбиваться и говорить, что здесь где-то вкрались нематематические термины?

Нет, он сразу понял, что пример был по существу и отмёл попытки других слушателей объявить его несостоятельным, сказал:
- Надо подумать ...
Впрочем это был не настоящий философ - скорее философствующий математик, довольно известный. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.07.2006, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Руст писал(а):
Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.

Вы имели в виду
$$
{\rm Hom}\Bigl(\coprod_{\alpha} A_{\alpha},\prod_{\beta} B_{\beta}\Bigr)\cong\prod_{\alpha,\beta}{\rm Hom}(A_{\alpha},B_{\beta})?
$$
Не вполне понимаю Вашу аргументацию. Пожалуйста, поясните.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.07.2006, 13:09 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Известно, что сложение и умножение независимы в том смысле, что для линейности функционала одной аддитивности мало, нужна еще однородность. Т.е. существуют преобразования действительной оси, для которых обязательно f(x + y) = f(x) + f(y), но не обязательно f(ax) = af(x). Однако доказательство использует лемму Цорна и поэтому неконструктивно. Спрашивается, а без нее нельзя ли обойтись?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.07.2006, 18:30 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
бобыль писал(а):
Известно, что сложение и умножение независимы в том смысле, что для линейности функционала одной аддитивности мало, нужна еще однородность. Т.е. существуют преобразования действительной оси, для которых обязательно f(x + y) = f(x) + f(y), но не обязательно f(ax) = af(x). Однако доказательство использует лемму Цорна и поэтому неконструктивно. Спрашивается, а без нее нельзя ли обойтись?


Я спросил глупость? Или это никому не интересно? Или это очень сложно? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.07.2006, 19:34 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
lofar писал(а):
Руст писал(а):
Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.

Вы имели в виду
$$
{\rm Hom}\Bigl(\coprod_{\alpha} A_{\alpha},\prod_{\beta} B_{\beta}\Bigr)\cong\prod_{\alpha,\beta}{\rm Hom}(A_{\alpha},B_{\beta})?
$$
Не вполне понимаю Вашу аргументацию. Пожалуйста, поясните.

Я имел в виду, что сложение можно интерпретировать как отображение из множества с одним элементом в сумму множеств, когда слагаемые интерпретируются как отображения в слагаемые множества. Такая интерпретация имеется и в топосах.
Для произведения надо брать $Hom(AUB,C)=Hom(A,C)*Hom(B,C)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.07.2006, 19:37 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
бобыль писал(а):
бобыль писал(а):
Известно, что сложение и умножение независимы в том смысле, что для линейности функционала одной аддитивности мало, нужна еще однородность. Т.е. существуют преобразования действительной оси, для которых обязательно f(x + y) = f(x) + f(y), но не обязательно f(ax) = af(x). Однако доказательство использует лемму Цорна и поэтому неконструктивно. Спрашивается, а без нее нельзя ли обойтись?


Я спросил глупость? Или это никому не интересно? Или это очень сложно? :roll:

Можно и без леммы, ограничиваясь всеми числами, а например квадратичным расширением Q(\sqrt D) в себя. Например гомоморфизм Галуа линеен а неоднороден в вашем смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение и умножение
Сообщение20.07.2006, 23:21 
Заморожен


29/04/06
302
Питер
бобыль писал(а):
Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения? Умножение не сводится к сложению?

Почему величины можно складывать и умножать, но не одновременно? Например, можно сложить и перемножить две длины, но нельзя сложить полученные результаты (длину и площадь); можно умножить энергию на время (и получить действие), но нельзя их сложить. В чем здесь дело?


Как видите, в аксиоматическом подходе так и не выяснить, или, скажем так, - весьма затруднительно выяснить - почему? Я вот со своей колокольни, диалектической, изреку сейчас истину :) , ну, ежели скромно, - правду :)

Складываются свойства одного рода - два (три, четыре, и т.д.) количества (действия).
А вот количество с плотностью (временем) действия не складывается, а только перемножается, (потому как хоть и могут быть свойствами одного и того же действия, но являются разнородными свойствами действия) и получается мощность (действия). Образно выражаясь, энергия - это количество действия, а время - это плотность энергии действия. (Кто тут считает количество существительных в моих откровениях? :lol:
И получаем, если точно, не действие, а мощность действия.
И цифры здесь, на моей колокольне, не являются абстрактным неопределимым понятием числа, а отображают свойства действия - определенное (таким-то числом) количество действия, и определенное (эдаким числом)(времени) плотность действия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2006, 15:22 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Руст писал(а):
Например гомоморфизм Галуа линеен а неоднороден в вашем смысле.


Не понял. Ведь линейный функционал однороден по определению.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.10.2006, 19:28 


07/10/06
77
Возьмём например массу и время:

m+t=? что получим?

в одном месте хлеб,в другом колбаса.Сложим и получим бутерброд,а вы хотите,чтобы результат был либо больше хлеба,либо колбасы.НЕ выйдет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group