Сложение и умножение

[PAV]

Кстати, сложение также применимо не всегда. Это зависит от физической природы величин. Например, складывать плотности веществ бессмысленно.

[ИСН]

PAV, Вы имели в виду обратное написанному (т.е., перемножать, скажем, силу на путь можно - будет работа - а складывать их друг с другом довольно тупо), или как понимать?
Upd. Всё, я понял, вопрос отпал.
bot, и что же, философ не стал отбиваться и говорить, что здесь где-то вкрались нематематические термины?

[Approximator]

Руст писал(а):

Approximator писал(а):

Прямые произведения и сумма множеств эквивалентны.

На самом деле категория множеств не самодуальна и поэтому разница между произведениями и суммами имеется, это приводит к разнице и для структур над категорией множеств и к некоторой двойственности между структурами алгебраического типа и непрерывного типа.
Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.
Из-за того, что категория множеств не эквивалентна своей двойственной, выявляется разница в сложении и умножении.

Согласен. Подразумевалось прямые сумма и произведение числовых множеств (или уж совсем по-буквоедски: конечного кол-ва абелевых групп) эквивалентны.

В такой редакции принимаете?

[бобыль]

А мне понравилась эта идея с размерность.

Рассмотрим множество элементов с коммутативными сложением и умножением. Из этих элементов составим квадратные матрицы одного размера с матричными сложением и умножением. Матричное сложение останется коммутативным, а умножение - необязательно. В этом смысле сложение и умножение не есть одно и то же. Откуда берется это различие?

Снова рассмотрим исходное множество, но вместо умножения возьмем еще одно сложение, пусть то же самое, и опять составим матрицы. Различие сложения и умножения сохранится по-прежнему!

Получается, что это различие есть эффект размерности?

[bot]

ИСН писал(а):

bot, и что же, философ не стал отбиваться и говорить, что здесь где-то вкрались нематематические термины?

Нет, он сразу понял, что пример был по существу и отмёл попытки других слушателей объявить его несостоятельным, сказал:
- Надо подумать ...
Впрочем это был не настоящий философ - скорее философствующий математик, довольно известный.

[lofar]

Руст писал(а):

Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.

Вы имели в виду

$$ {\rm Hom}\Bigl(\coprod_{\alpha} A_{\alpha},\prod_{\beta} B_{\beta}\Bigr)\cong\prod_{\alpha,\beta}{\rm Hom}(A_{\alpha},B_{\beta})? $$

Не вполне понимаю Вашу аргументацию. Пожалуйста, поясните.

[бобыль]

Известно, что сложение и умножение независимы в том смысле, что для линейности функционала одной аддитивности мало, нужна еще однородность. Т.е. существуют преобразования действительной оси, для которых обязательно f(x + y) = f(x) + f(y), но не обязательно f(ax) = af(x). Однако доказательство использует лемму Цорна и поэтому неконструктивно. Спрашивается, а без нее нельзя ли обойтись?

[бобыль]

бобыль писал(а):

Известно, что сложение и умножение независимы в том смысле, что для линейности функционала одной аддитивности мало, нужна еще однородность. Т.е. существуют преобразования действительной оси, для которых обязательно f(x + y) = f(x) + f(y), но не обязательно f(ax) = af(x). Однако доказательство использует лемму Цорна и поэтому неконструктивно. Спрашивается, а без нее нельзя ли обойтись?

Я спросил глупость? Или это никому не интересно? Или это очень сложно?

[Руст]

lofar писал(а):

Руст писал(а):

Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.

Вы имели в виду

$$ {\rm Hom}\Bigl(\coprod_{\alpha} A_{\alpha},\prod_{\beta} B_{\beta}\Bigr)\cong\prod_{\alpha,\beta}{\rm Hom}(A_{\alpha},B_{\beta})? $$

Не вполне понимаю Вашу аргументацию. Пожалуйста, поясните.

Я имел в виду, что сложение можно интерпретировать как отображение из множества с одним элементом в сумму множеств, когда слагаемые интерпретируются как отображения в слагаемые множества. Такая интерпретация имеется и в топосах.
Для произведения надо брать $Hom(AUB,C)=Hom(A,C)*Hom(B,C)$

[Руст]

бобыль писал(а):

бобыль писал(а):

Известно, что сложение и умножение независимы в том смысле, что для линейности функционала одной аддитивности мало, нужна еще однородность. Т.е. существуют преобразования действительной оси, для которых обязательно f(x + y) = f(x) + f(y), но не обязательно f(ax) = af(x). Однако доказательство использует лемму Цорна и поэтому неконструктивно. Спрашивается, а без нее нельзя ли обойтись?

Я спросил глупость? Или это никому не интересно? Или это очень сложно?

Можно и без леммы, ограничиваясь всеми числами, а например квадратичным расширением Q(\sqrt D) в себя. Например гомоморфизм Галуа линеен а неоднороден в вашем смысле.

[Otez-osnovatel]

бобыль писал(а):

Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения? Умножение не сводится к сложению?

Почему величины можно складывать и умножать, но не одновременно? Например, можно сложить и перемножить две длины, но нельзя сложить полученные результаты (длину и площадь); можно умножить энергию на время (и получить действие), но нельзя их сложить. В чем здесь дело?

Как видите, в аксиоматическом подходе так и не выяснить, или, скажем так, - весьма затруднительно выяснить - почему? Я вот со своей колокольни, диалектической, изреку сейчас истину , ну, ежели скромно, - правду

Складываются свойства одного рода - два (три, четыре, и т.д.) количества (действия).
А вот количество с плотностью (временем) действия не складывается, а только перемножается, (потому как хоть и могут быть свойствами одного и того же действия, но являются разнородными свойствами действия) и получается мощность (действия). Образно выражаясь, энергия - это количество действия, а время - это плотность энергии действия. (Кто тут считает количество существительных в моих откровениях?
И получаем, если точно, не действие, а мощность действия.
И цифры здесь, на моей колокольне, не являются абстрактным неопределимым понятием числа, а отображают свойства действия - определенное (таким-то числом) количество действия, и определенное (эдаким числом)(времени) плотность действия.

[бобыль]

Руст писал(а):

Например гомоморфизм Галуа линеен а неоднороден в вашем смысле.

Не понял. Ведь линейный функционал однороден по определению.

[Три А,да]

Возьмём например массу и время:

m+t=? что получим?

в одном месте хлеб,в другом колбаса.Сложим и получим бутерброд,а вы хотите,чтобы результат был либо больше хлеба,либо колбасы.НЕ выйдет.