2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сложение и умножение
Сообщение13.07.2006, 14:28 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения? Умножение не сводится к сложению?

Почему величины можно складывать и умножать, но не одновременно? Например, можно сложить и перемножить две длины, но нельзя сложить полученные результаты (длину и площадь); можно умножить энергию на время (и получить действие), но нельзя их сложить. В чем здесь дело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение и умножение
Сообщение13.07.2006, 14:45 


28/06/06
61
бобыль писал(а):
Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения?


Принципиального отличия :D нет. И то, и другое бинарная алгебраическая операция.

Циклические (полу)группы, соответственно, относительно сложения и умножения будут изоморфны.

Над $\mathbb{C}$ (алгебраические) системы с обоими операциями изоморфны.

бобыль писал(а):
Умножение не сводится к сложению?


Смотря что понимать под "сводимостью к" :D.

бобыль писал(а):
Почему величины можно складывать и умножать, но не одновременно? Например, можно сложить и перемножить две длины, но нельзя сложить полученные результаты (длину и площадь); можно умножить энергию на время (и получить действие), но нельзя их сложить. В чем здесь дело?


В том, что величины неоднородные.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 15:11 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Да, в полях и кольцах сложение и умножение однородны в том смысле, что не выводят за их пределы. Однако для величин сложение обычно не выводит, зато умножение выводит за пределы однородности. А чтобы умножение не нарушало однородности умножать разрешается только на число (безразмерное). Разве это без разницы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 15:19 


28/06/06
61
бобыль писал(а):
Однако для величин сложение обычно не выводит, зато умножение выводит за пределы однородности. А чтобы умножение не нарушало однородности умножать разрешается только на число (безразмерное). Разве это без разницы?


Прямые произведения и сумма множеств эквивалентны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 15:35 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Значит, вместо сложения и умножения, согласованных друг с другом, можно было бы говорить о двух согласованных сложениях или умножениях и это всего лишь (!) вопрос удобства?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 16:06 


28/06/06
61
бобыль писал(а):
Значит, вместо сложения и умножения, согласованных друг с другом, можно было бы говорить о двух согласованных сложениях или умножениях и это всего лишь (!) вопрос удобства?

Сомневаюсь, что способен Вас правильно понять.

Алгебра строится над сложением и умножением. Нельзя построить алгебру над "двумя сложениями" или "двумя умножениями".

Есть т.н. многоосновные алгебры, которые конструируются из разных (под)групп и подалгебр с одними и теми же операциями, но это одни и те же операции (конечное множество объектов получается объединением/пересечением исходных множеств объектов).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 16:45 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Approximator писал(а):
Сомневаюсь, что способен Вас правильно понять.


Но ведь Вы же сами сказали, что что-то там такое изоморфно и принципиальной разницы между сложением и умножением нет. А какая есть? Ведь слова "сложение" и "умножение" все-таки не синонимы!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 16:52 


28/06/06
61
бобыль писал(а):
Approximator писал(а):
Сомневаюсь, что способен Вас правильно понять.


Но ведь Вы же сами сказали, что что-то там такое изоморфно...

Циклические (полу)группы со сложением и умножением изоморфны друг другу.
Группы со сложением и умножением над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$_+, соотвественно. тоже изоморфны.
Группы со сложением и умножением над $\mathbb{C}$ тоже изоморфны.

бобыль писал(а):
... и принципиальной разницы между сложением и умножением нет. А какая есть? Ведь слова "сложение" и "умножение" все-таки не синонимы!


Внутри конкретной алгебры это разные (бинарные алгебраические) операции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 17:10 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Хорошо, о группах говорить не будем, будем об алгебрах. Тогда в каком смысле вычитать 0 можно, но делить на него нельзя?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 17:15 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Approximator писал(а):
Прямые произведения и сумма множеств эквивалентны.

На самом деле категория множеств не самодуальна и поэтому разница между произведениями и суммами имеется, это приводит к разнице и для структур над категорией множеств и к некоторой двойственности между структурами алгебраического типа и непрерывного типа.
Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.
Из-за того, что категория множеств не эквивалентна своей двойственной, выявляется разница в сложении и умножении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение и умножение
Сообщение13.07.2006, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
бобыль писал(а):
Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения?

Если смотреть с абстрактной точки зрения, то разница есть или нет, зависит от аксиоматики.
В кольце есть дистрибутивность умножения относительно сложения, а дистрибутивность сложения относительно умножения уже не предполагается.
В булевой алгебре всё поровну - хоть объединение назови сложением, а пересечение произведением, хоть наоборот.
Иначе говоря, разница может возникнуть лишь в контексте приложений, то есть уже вне математики.
Помню как-то, будучи на ФПК, поймал одного философа на заявлении о том, что всякое отношение, выраженное математическими терминами, не зависит от размерности. Когда он предложил привести опровергающий пример, мне думать долго не пришлось. Пример я помню, но не стану приводить, так как всякий математик может привести их много.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 17:54 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
Руст писал(а):
На самом деле категория множеств не самодуальна и поэтому разница...


К сожалению, я не владею аппаратом категорий в этом смысле и поэтому мне это не очень понятно, хотя "категорный анализ" я даже развиваю, но совсем в другом смысле. Нельзя ли объяснить попроще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение и умножение
Сообщение13.07.2006, 17:57 
Заморожен


08/11/05
499
Москва Первомайская
bot писал(а):
Иначе говоря, разница может возникнуть лишь в контексте приложений, то есть уже вне математики.


Можете привести пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение и умножение
Сообщение13.07.2006, 18:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
бобыль писал(а):
bot писал(а):
Иначе говоря, разница может возникнуть лишь в контексте приложений, то есть уже вне математики.


Можете привести пример?


Но Вы же сами приводили пример: складывать величины часто (хотя и не всегда) можно (длины, массы), а перемножать нет. Более точно, можно конечно все, но результат смысла не имеет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.07.2006, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Ага, такого же сорта пример я и философу привёл:
Периметр вот этого стола меньше его площади.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group