Сложение и умножение

[бобыль]

Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения? Умножение не сводится к сложению?

Почему величины можно складывать и умножать, но не одновременно? Например, можно сложить и перемножить две длины, но нельзя сложить полученные результаты (длину и площадь); можно умножить энергию на время (и получить действие), но нельзя их сложить. В чем здесь дело?

[Approximator]

бобыль писал(а):

Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения?

Принципиального отличия нет. И то, и другое бинарная алгебраическая операция.

Циклические (полу)группы, соответственно, относительно сложения и умножения будут изоморфны.

Над $\mathbb{C}$ (алгебраические) системы с обоими операциями изоморфны.

бобыль писал(а):

Умножение не сводится к сложению?

Смотря что понимать под "сводимостью к" .

бобыль писал(а):

Почему величины можно складывать и умножать, но не одновременно? Например, можно сложить и перемножить две длины, но нельзя сложить полученные результаты (длину и площадь); можно умножить энергию на время (и получить действие), но нельзя их сложить. В чем здесь дело?

В том, что величины неоднородные.

[бобыль]

Да, в полях и кольцах сложение и умножение однородны в том смысле, что не выводят за их пределы. Однако для величин сложение обычно не выводит, зато умножение выводит за пределы однородности. А чтобы умножение не нарушало однородности умножать разрешается только на число (безразмерное). Разве это без разницы?

[Approximator]

бобыль писал(а):

Однако для величин сложение обычно не выводит, зато умножение выводит за пределы однородности. А чтобы умножение не нарушало однородности умножать разрешается только на число (безразмерное). Разве это без разницы?

Прямые произведения и сумма множеств эквивалентны.

[бобыль]

Значит, вместо сложения и умножения, согласованных друг с другом, можно было бы говорить о двух согласованных сложениях или умножениях и это всего лишь (!) вопрос удобства?

[Approximator]

бобыль писал(а):

Значит, вместо сложения и умножения, согласованных друг с другом, можно было бы говорить о двух согласованных сложениях или умножениях и это всего лишь (!) вопрос удобства?

Сомневаюсь, что способен Вас правильно понять.

Алгебра строится над сложением и умножением. Нельзя построить алгебру над "двумя сложениями" или "двумя умножениями".

Есть т.н. многоосновные алгебры, которые конструируются из разных (под)групп и подалгебр с одними и теми же операциями, но это одни и те же операции (конечное множество объектов получается объединением/пересечением исходных множеств объектов).

[бобыль]

Approximator писал(а):

Сомневаюсь, что способен Вас правильно понять.

Но ведь Вы же сами сказали, что что-то там такое изоморфно и принципиальной разницы между сложением и умножением нет. А какая есть? Ведь слова "сложение" и "умножение" все-таки не синонимы!

[Approximator]

бобыль писал(а):

Approximator писал(а):

Сомневаюсь, что способен Вас правильно понять.

Но ведь Вы же сами сказали, что что-то там такое изоморфно...

Циклические (полу)группы со сложением и умножением изоморфны друг другу.
Группы со сложением и умножением над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}$_+, соотвественно. тоже изоморфны.
Группы со сложением и умножением над $\mathbb{C}$ тоже изоморфны.

бобыль писал(а):

... и принципиальной разницы между сложением и умножением нет. А какая есть? Ведь слова "сложение" и "умножение" все-таки не синонимы!

Внутри конкретной алгебры это разные (бинарные алгебраические) операции.

[бобыль]

Хорошо, о группах говорить не будем, будем об алгебрах. Тогда в каком смысле вычитать 0 можно, но делить на него нельзя?

[Руст]

Approximator писал(а):

Прямые произведения и сумма множеств эквивалентны.

На самом деле категория множеств не самодуальна и поэтому разница между произведениями и суммами имеется, это приводит к разнице и для структур над категорией множеств и к некоторой двойственности между структурами алгебраического типа и непрерывного типа.
Грубо для объектов A,B,C сумма морфизмов определяется $Hom(A,B)+Hom(A,C)=Hom(A,B+C)$, произведение $Hom(A,C)*Hom(B,C)=Hom(A*B,C)$.
Из-за того, что категория множеств не эквивалентна своей двойственной, выявляется разница в сложении и умножении.

[bot]

бобыль писал(а):

Скажите, в чем состоит принципиальное отличие сложения от умножения?

Если смотреть с абстрактной точки зрения, то разница есть или нет, зависит от аксиоматики.
В кольце есть дистрибутивность умножения относительно сложения, а дистрибутивность сложения относительно умножения уже не предполагается.
В булевой алгебре всё поровну - хоть объединение назови сложением, а пересечение произведением, хоть наоборот.
Иначе говоря, разница может возникнуть лишь в контексте приложений, то есть уже вне математики.
Помню как-то, будучи на ФПК, поймал одного философа на заявлении о том, что всякое отношение, выраженное математическими терминами, не зависит от размерности. Когда он предложил привести опровергающий пример, мне думать долго не пришлось. Пример я помню, но не стану приводить, так как всякий математик может привести их много.

[бобыль]

Руст писал(а):

На самом деле категория множеств не самодуальна и поэтому разница...

К сожалению, я не владею аппаратом категорий в этом смысле и поэтому мне это не очень понятно, хотя "категорный анализ" я даже развиваю, но совсем в другом смысле. Нельзя ли объяснить попроще?

[бобыль]

bot писал(а):

Иначе говоря, разница может возникнуть лишь в контексте приложений, то есть уже вне математики.

Можете привести пример?

[PAV]

бобыль писал(а):

bot писал(а):

Иначе говоря, разница может возникнуть лишь в контексте приложений, то есть уже вне математики.

Можете привести пример?

Но Вы же сами приводили пример: складывать величины часто (хотя и не всегда) можно (длины, массы), а перемножать нет. Более точно, можно конечно все, но результат смысла не имеет.

[bot]

Ага, такого же сорта пример я и философу привёл:
Периметр вот этого стола меньше его площади.