2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ряд 1-1+1-1+1-1+1... Вы тоже будете проверять по всем этим признакам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 16:34 


27/10/09
78
ИСН в сообщении #358272 писал(а):
Ряд 1-1+1-1+1-1+1... Вы тоже будете проверять по всем этим признакам?

Выходит, что ряд в пределе эквивалентен ряду $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(-1)^n \pi$. Этот ряд расходится по необходимому признаку (у ряда нет предела). Следовательно, исходный ряд также расходится.

При $x = \frac{1}{4}$ ситуация такая же. Получается ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}4^n \sin{\frac{\pi}{4^n}}$. Предел его $n$-го члена не равен нулю $\lim\limits_{n\to\infty}4^n \sin{\frac{\pi}{4^n}} =  $\lim\limits_{n\to\infty}4^n \frac{\pi}{4^n} = \pi$. Ряд расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 21:10 


27/10/09
78
Я разложил функцию $f(x) = \ln{\sqrt[3]{\frac{1 + x}{1 - x}}}$ в ряд (с помощью ряда Маклорена): $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n +1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}, x \in (-1, 1)$. Теперь вопрос. Как с помощью этого разложения найти n-ую производную $f^{(n)}(0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 21:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, как минимум, Вы очень странно его разложили (там попросту не может возникнуть сочетания разложений по всем вообще степеням и по только нечётным, это просто противоречит симметрии задачи).

А во-вторых: ну разложили -- так и ищите ту производную. Пусть и неверный результат , но хоть какой-то -- найдёте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 21:57 


27/10/09
78
Извините, я запутался в своих записях.
$f(x) = x^3 \ln(1 -x + x^2 - x^3) = x^3 \ln(1-x)(1 + x^2) = x^3 \left[ -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} x^{2n}}{n} \right] $

Теперь я хочу найти значение производной $f^{(8)}(0)$. Для этого вместо $n$ мне надо подставить $8$, а вместо $x$ подставить $0$? Это ведь неправильно? А что нужно сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Теперь я запутался в Ваших записях. Предыдущее сообщение игнорировать, что ли? Если так, то слушайте. Что такое ряд Тейлора (ну, Маклорена)? Как, в каком виде туда входят производные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 22:32 


27/10/09
78
ИСН в сообщении #358453 писал(а):
Теперь я запутался в Ваших записях. Предыдущее сообщение игнорировать, что ли? Если так, то слушайте. Что такое ряд Тейлора (ну, Маклорена)? Как, в каком виде туда входят производные?

Нет, то сообщение было использовано с пользой - я завершил прошлый пример :). Дальше я пытаюсь решить задачу уже другого вида.

Разложение в ряд Маклорена выглядит так: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$
Мне приходит мысль выделить в том разложении функции $f(x)$ значения $x^n$ и $n!$, тогда то, что останется будет $f^{(n)}(0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 22:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #358453 писал(а):
Как, в каком виде туда входят производные?

Да, собственно, никак (если говорить о стандартных разложениях). Однако же это:

Pixar в сообщении #358446 писал(а):
$f(x) = x^3 \ln(1 -x + x^2 - x^3) = x^3 \ln(1-x)(1 + x^2) =$

-- это уже внушаеть уже довольно глубокия подозрения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Pixar в сообщении #358456 писал(а):
Мне приходит мысль выделить в том разложении функции $f(x)$ значения $x^n$ и $n!$, тогда то, что останется будет $f^{(n)}(0)$.

Как-то так, да, если правильно понимать, какое слагаемое в ряду Вам нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 22:54 


27/10/09
78
$\ln(1 + x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, x\in (-1, 1)$ - источник
Отсюда, $\ln(1 - x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} (-1) x^n}{n} = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
И $ln(1 + x^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{n}$

Поэтому с разложением всё должно быть в порядке.

А вот что дальше делать, пока не придумывается.

===============

Не знаю, может бредовая идея, но я попробую приравнять сумму Маклорена и ту, которая получилась у меня (по идее формула Маклорена - это просто другое представление моего разложения).

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{0^3 \ln(1 -0 + 0^2 - 0^3)}{0!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$

Дальше надо выйти из под суммы! Я рядом, осталось ещё немного... =)

===============
Вроде я понял, как выбраться. $n$-ое слагаемое справа равно $n$-ому слагаемому слева. Следовательно, если нам нужна, допустим, $8$-ая производная, то это значит, что нам нужно приравнять $8$-ые члены слева и справа. Для $n$-ой производной получается так:
$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$

Теперь для конкретного значения $f^{(8)}(0)$.
$\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{(-1)^{8+1} x^{16 + 3} - x^{8 + 3}}{8}$
$\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{ -x^{19} - x^{11}}{8} $
$f^{(8)}(0) = (-x^{11} - x^3) 7!$

Теперь видно, что ещё и $x = 0$ справа надо было подставить. Выходит, вот окончательный вариант:
$f^{8}(0) = (-0^{11} - 0^3) 7! = 0$.

Я расписал все шаги, так что, в случае ошибки, сейчас можно определить, в каком именно месте я сбился.
Надеюсь всё правильно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение02.10.2010, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Воистину, во многих знаниях - многия печали. Отложите эти \sum-мы, с ними всё очень сложно, почти непостижимо. Напишите по-простому, как дети пишут, которые этого значка ещё не знают.
Они пишут, к примеру, так: ${1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3+...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение03.10.2010, 12:40 


27/10/09
78
ИСН в сообщении #358472 писал(а):
Воистину, во многих знаниях - многия печали. Отложите эти \sum-мы, с ними всё очень сложно, почти непостижимо. Напишите по-простому, как дети пишут, которые этого значка ещё не знают.
Они пишут, к примеру, так: ${1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3+...$

Хм. А с какого места начинается неправда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение03.10.2010, 16:40 


27/10/09
78
Это ужасно. Я убиваю второй день, чтобы решить эту задачу. Неужели никто не подскажет в чём дело?

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение03.10.2010, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А я ведь хороший совет дал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовой ряд
Сообщение03.10.2010, 18:42 
Аватара пользователя


24/08/10
32
А вот мой вопрос, может немного невтему, но все же:имеет ли выражение $${\frac{1}{n}}{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^3\sin k}}$$ конечный предел?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group