![$\ln(1 + x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, x\in (-1, 1)$ $\ln(1 + x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, x\in (-1, 1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/7/4e7539903395b418a8fa503f246e428182.png)
-
источникОтсюда,
![$\ln(1 - x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} (-1) x^n}{n} = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ $\ln(1 - x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} (-1) x^n}{n} = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf0a767fc437256c73a0f45f388e6d982.png)
И
![$ln(1 + x^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{n}$ $ln(1 + x^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/0/4109bfca6b8b5f53738c465ddcd40df482.png)
Поэтому с разложением всё должно быть в порядке.
А вот что дальше делать, пока не придумывается.
===============
Не знаю, может бредовая идея, но я попробую приравнять сумму Маклорена и ту, которая получилась у меня (по идее формула Маклорена - это просто другое представление моего разложения).
![$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$ $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/7/5e7885e8cb324d65fd89475a03e54c3182.png)
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{0^3 \ln(1 -0 + 0^2 - 0^3)}{0!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{0^3 \ln(1 -0 + 0^2 - 0^3)}{0!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/6/71610a1fe088cf71740b1d18ac53df9182.png)
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/6/c860520deeddd5a84ae60bc04655e43582.png)
Дальше надо выйти из под суммы! Я рядом, осталось ещё немного... =)
===============
Вроде я понял, как выбраться.
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-ое слагаемое справа равно
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-ому слагаемому слева. Следовательно, если нам нужна, допустим,
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
-ая производная, то это значит, что нам нужно приравнять
![$8$ $8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/005c128d6e551735fa5d938e44e7a61382.png)
-ые члены слева и справа. Для
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-ой производной получается так:
![$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5207d60bb882958cf5e8206019cc6a1482.png)
Теперь для конкретного значения
![$f^{(8)}(0)$ $f^{(8)}(0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/4/8b4da0166013c74e155764743c8db8aa82.png)
.
![$\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{(-1)^{8+1} x^{16 + 3} - x^{8 + 3}}{8}$ $\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{(-1)^{8+1} x^{16 + 3} - x^{8 + 3}}{8}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f1e9c0d7b8ce2b450c0e66da49b2cdf82.png)
![$\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{ -x^{19} - x^{11}}{8} $ $\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{ -x^{19} - x^{11}}{8} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/7/f279079166333cbe60f9aae51d27910e82.png)
![$f^{(8)}(0) = (-x^{11} - x^3) 7!$ $f^{(8)}(0) = (-x^{11} - x^3) 7!$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/e/71e3a1e211f41a024ab96fd46c70f00482.png)
Теперь видно, что ещё и
![$x = 0$ $x = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/3/2f3c8b04b987706450f80c5b0c2619d482.png)
справа надо было подставить. Выходит, вот окончательный вариант:
![$f^{8}(0) = (-0^{11} - 0^3) 7! = 0$ $f^{8}(0) = (-0^{11} - 0^3) 7! = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/e/74ed87075ccf28060820f3028f3bf4ae82.png)
.
Я расписал все шаги, так что, в случае ошибки, сейчас можно определить, в каком именно месте я сбился.
Надеюсь всё правильно...