Числовой ряд

[ИСН]

Ряд 1-1+1-1+1-1+1... Вы тоже будете проверять по всем этим признакам?

[Pixar]

ИСН в сообщении #358272 писал(а):

Ряд 1-1+1-1+1-1+1... Вы тоже будете проверять по всем этим признакам?

Выходит, что ряд в пределе эквивалентен ряду $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(-1)^n \pi$. Этот ряд расходится по необходимому признаку (у ряда нет предела). Следовательно, исходный ряд также расходится.

При $x = \frac{1}{4}$ ситуация такая же. Получается ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}4^n \sin{\frac{\pi}{4^n}}$. Предел его $n$-го члена не равен нулю $\lim\limits_{n\to\infty}4^n \sin{\frac{\pi}{4^n}} = $\lim\limits_{n\to\infty}4^n \frac{\pi}{4^n} = \pi$. Ряд расходится.

[Pixar]

Я разложил функцию $f(x) = \ln{\sqrt[3]{\frac{1 + x}{1 - x}}}$ в ряд (с помощью ряда Маклорена): $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n +1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}, x \in (-1, 1)$. Теперь вопрос. Как с помощью этого разложения найти n-ую производную $f^{(n)}(0)$?

[ewert]

Ну, как минимум, Вы очень странно его разложили (там попросту не может возникнуть сочетания разложений по всем вообще степеням и по только нечётным, это просто противоречит симметрии задачи).

А во-вторых: ну разложили -- так и ищите ту производную. Пусть и неверный результат , но хоть какой-то -- найдёте.

[Pixar]

Извините, я запутался в своих записях.
$f(x) = x^3 \ln(1 -x + x^2 - x^3) = x^3 \ln(1-x)(1 + x^2) = x^3 \left[ -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1} x^{2n}}{n} \right] $

Теперь я хочу найти значение производной $f^{(8)}(0)$. Для этого вместо $n$ мне надо подставить $8$, а вместо $x$ подставить $0$? Это ведь неправильно? А что нужно сделать?

[ИСН]

Теперь я запутался в Ваших записях. Предыдущее сообщение игнорировать, что ли? Если так, то слушайте. Что такое ряд Тейлора (ну, Маклорена)? Как, в каком виде туда входят производные?

[Pixar]

ИСН в сообщении #358453 писал(а):

Теперь я запутался в Ваших записях. Предыдущее сообщение игнорировать, что ли? Если так, то слушайте. Что такое ряд Тейлора (ну, Маклорена)? Как, в каком виде туда входят производные?

Нет, то сообщение было использовано с пользой - я завершил прошлый пример :). Дальше я пытаюсь решить задачу уже другого вида.

Разложение в ряд Маклорена выглядит так: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$
Мне приходит мысль выделить в том разложении функции $f(x)$ значения $x^n$ и $n!$, тогда то, что останется будет $f^{(n)}(0)$.

[ewert]

ИСН в сообщении #358453 писал(а):

Как, в каком виде туда входят производные?

Да, собственно, никак (если говорить о стандартных разложениях). Однако же это:

Pixar в сообщении #358446 писал(а):

$f(x) = x^3 \ln(1 -x + x^2 - x^3) = x^3 \ln(1-x)(1 + x^2) =$

-- это уже внушаеть уже довольно глубокия подозрения...

[ИСН]

Pixar в сообщении #358456 писал(а):

Мне приходит мысль выделить в том разложении функции $f(x)$ значения $x^n$ и $n!$, тогда то, что останется будет $f^{(n)}(0)$.

Как-то так, да, если правильно понимать, какое слагаемое в ряду Вам нужно.

[Pixar]

$\ln(1 + x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}, x\in (-1, 1)$ - источник
Отсюда, $\ln(1 - x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n} (-1) x^n}{n} = -\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$
И $ln(1 + x^2) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n}}{n}$

Поэтому с разложением всё должно быть в порядке.

А вот что дальше делать, пока не придумывается.

===============

Не знаю, может бредовая идея, но я попробую приравнять сумму Маклорена и ту, которая получилась у меня (по идее формула Маклорена - это просто другое представление моего разложения).

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{0^3 \ln(1 -0 + 0^2 - 0^3)}{0!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$

Дальше надо выйти из под суммы! Я рядом, осталось ещё немного... =)

===============
Вроде я понял, как выбраться. $n$-ое слагаемое справа равно $n$-ому слагаемому слева. Следовательно, если нам нужна, допустим, $8$-ая производная, то это значит, что нам нужно приравнять $8$-ые члены слева и справа. Для $n$-ой производной получается так:
$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \frac{(-1)^{n+1} x^{2n + 3} - x^{n + 3}}{n}$

Теперь для конкретного значения $f^{(8)}(0)$.
$\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{(-1)^{8+1} x^{16 + 3} - x^{8 + 3}}{8}$
$\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 = \frac{ -x^{19} - x^{11}}{8} $
$f^{(8)}(0) = (-x^{11} - x^3) 7!$

Теперь видно, что ещё и $x = 0$ справа надо было подставить. Выходит, вот окончательный вариант:
$f^{8}(0) = (-0^{11} - 0^3) 7! = 0$.

Я расписал все шаги, так что, в случае ошибки, сейчас можно определить, в каком именно месте я сбился.
Надеюсь всё правильно...

[ИСН]

Воистину, во многих знаниях - многия печали. Отложите эти \sum-мы, с ними всё очень сложно, почти непостижимо. Напишите по-простому, как дети пишут, которые этого значка ещё не знают.
Они пишут, к примеру, так: ${1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3+...$

[Pixar]

ИСН в сообщении #358472 писал(а):

Воистину, во многих знаниях - многия печали. Отложите эти \sum-мы, с ними всё очень сложно, почти непостижимо. Напишите по-простому, как дети пишут, которые этого значка ещё не знают.
Они пишут, к примеру, так: ${1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3+...$

Хм. А с какого места начинается неправда?

[Pixar]

Это ужасно. Я убиваю второй день, чтобы решить эту задачу. Неужели никто не подскажет в чём дело?

[ИСН]

А я ведь хороший совет дал.

[polyedr]

А вот мой вопрос, может немного невтему, но все же:имеет ли выражение

$${\frac{1}{n}}{\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^3\sin k}}$$

конечный предел?