Комплексная плоскость и RxR

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #358554 писал(а):

Тут просто вложение $\mathbb{R}$ другое. $(x_1,x_1)(x_2,y_2) = x_1 (x_2,y_2)$

Вот то, что оно другое мне и не нравится.
Можно представить умножение на скаляр $\alpha\cdot(x,y)$ в $\mathbb{R}^2$ как умножение векторов $(\alpha, 0)$ и $(x,y)$ по правилу $(\alpha, 0)\cdot(x,y)=(\alpha x, \alpha y)$. В комплексном пространстве умножение векторов работает по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$ и в частном случае, когда $y_1=0$ имеем $(x_1, 0)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2, x_1y_2)$, т. е. умножение по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$ совпадает с умножением по правилу $(\alpha, 0)\cdot(x,y)=(\alpha x, \alpha y)$. А в случае умножения по правилу $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2, y_1y_2)$, как Вы пишите "вложение $\mathbb{R}$ другое". И $(x_1, 0)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2, 0)$, а умножение по "скалярному" правилу дает $(x_1, 0)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2, x_1y_2)$. Совпадение в первом случае мне нравится, а несовпадение во втором, скажем политкорректно, нравится меньше.

[Xaositect]

А почему в случае комплексных чисел вы одождествляете $\alpha$ с $(\alpha, 0)$, а не с $(0,\alpha)$? Чем оно лучше?

Разумеется, потому, что $(1,0)$ - это единица относительно комплексного умножения. Именно поэтому первая координата выделена.
А в случае рассматриваемой алгебры $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ единица - это $(1,1)$, поэтому и действительные числа естественно отождествлять с $(\alpha,\alpha)$. Ситуация ровно та же самая.

[Виктор Викторов]

Мы разговариваем на уровне "нравится -- не нравится".

ewert в сообщении #358400 писал(а):

А вот давайте-ка определим на Эр-квадрат произведение векторов тупо как покомпонентное. Это действительно будет "на" (в отличие от скалярных или там векторных), и получится воистину алгебра (и ассоциативная, и коммутативная). Тогда вопрос на засыпку: а чем это всё-таки нехорошо?...

Автор задал вопрос: "а чем это всё-таки нехорошо?" Вопрос весьма расплывчат. Я и описал, что мне не нра и почему.

Но, разумеется можно отождествлять так:

Xaositect в сообщении #358723 писал(а):

А почему в случае комплексных чисел вы одождествляете $\alpha$ с $(\alpha, 0)$, а не с $(0,\alpha)$? Чем оно лучше?

Разумеется, потому, что $(1,0)$ - это единица относительно комплексного умножения. Именно поэтому первая координата выделена.

а можно и так:

Xaositect в сообщении #358723 писал(а):

А в случае рассматриваемой алгебры $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ единица - это $(1,1)$, поэтому и действительные числа естественно отождествлять с $(\alpha,\alpha)$. Ситуация ровно та же самая.

Может быть, есть смысл обратить внимание, что автор говорит про

ewert в сообщении #358400 писал(а):

Эр-квадрат

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #358733 писал(а):

Автор задал вопрос: "а чем это всё-таки нехорошо?" Вопрос весьма расплывчат.

А кто первым "мяу"-то сказал?...

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #358736 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #358733 писал(а):

Автор задал вопрос: "а чем это всё-таки нехорошо?" Вопрос весьма расплывчат.

А кто первым "мяу"-то сказал?...

Я не говорил "мяу". Я сказал "гав" и покаялся.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #358736 писал(а):

А кто первым "мяу"-то сказал?...

Виктор Викторов в сообщении #358739 писал(а):

Я не говорил "мяу". Я сказал "гав" и покаялся.

Обсуждение закончено. Пора подводить итоги. Был задан вопрос:

Виктор Викторов в сообщении #357498 писал(а):

В чем различие между комплексной плоскостью и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$?

Мгновенно были получены два правильных ответа:

ewert в сообщении #357505 писал(а):

В том, что в первом случае есть некоторая дополнительная структура.

ShMaxG в сообщении #357512 писал(а):

Как минимум на множестве комплексных чисел между ними определено умножение, не выводящее из этого множества.

Казалось все ясно. Векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ частный случай $\mathbb R^2$. Добавлена одна аксиома, вводящая полноценное умножение вектора на вектор (в результате получаем вектор), и мы получаем векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ коммутативную алгебру.
Но тут раздались критические голоса: "На мой взгляд, немного странная постановка вопроса." "Такого рода постановки странны тем, что предполагает у студентов наличие не только математической подготовки, но и серьёзных телепатических навыков". "Замечу, что дискуссию подогревает именно некорректная постановка".
А в чем дело-то? Вопрос прост как слеза и имеет однозначный ответ. Правда, довольно быстро я обнаружил, что хотел задать не этот вопрос. Поскольку раннего маразма у меня ещё нет (надеюсь), то это безграмотно начать с одного вопроса, а думать совершенно о другом.
Вопрос, который я хотел задать: В чем различие между векторным пространством $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ и евклидовым пространством $\mathbb{E}^2}$?
С моей точки зрения, это более интересный вопрос, т. к. ни одно из этих пространств не является частным случаем другого. Эти пространства весьма отличаются друг от друга, а различие ... по разному заданное произведение векторов. В одном случае имеем полноценное умножение вектора на вектор (в результате получаем вектор) векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$, коммутативную алгебру. А в другом скалярное произведение (произведение двух векторов дает вещественное число) и алгебра не просматривается. Но и тут не всё прошло гладко. Никто не говорит на лекциях по аналитической геометрии, что нельзя сравнивать векторное и скалярное произведения. Здесь же аналогичное сравнение вызвало спор. В итоге разобрались. Я даже научился пользоваться правильными терминами (надеюсь это заметно) и вспомнил о чём говорю.
Я благодарен за плодотворное обсуждение ShMaxG, Niclax, Maslov, paha, BapuK, terminator-II, AD, Профессор Снэйп и Xaositect.
И особенно я благодарен за обсуждение и помощь Someone и ewert.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #359290 писал(а):

Вопрос, который я хотел задать: В чем различие между векторным пространством $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ и евклидовым пространством $\mathbb{E}^2}$?

Пожалуйста, но вот ей-богу вновь неудачный вопрос и ещё более ответ. Разница "между векторным пространством $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ и евклидовым пространством $\mathbb{E}^2}$" ровно в наличии в последнем скалярного произведения и ни в чём более. Ибо если $\mathbb C$ рассматривается только как векторное пространство над $\mathbb R$, то никакого умножения в $\mathbb C$ при этом не предполагается.

Виктор Викторов в сообщении #359290 писал(а):

Никто не говорит на лекциях по аналитической геометрии, что нельзя сравнивать векторное и скалярное произведения.

На лекциях (а особенно на практике) говорить о принципиальных различиях между ними можно и нужно. А вот задавать вопрос о таких различиях студентам как контрольный нельзя -- он слишком неопределённ.

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #359290 писал(а):

ни одно из этих пространств не является частным случаем другого. Эти пространства весьма отличаются друг от друга

В $\mathbb{C}$ имеется естественная евклидова структура:

$$ (z,w)={\rm Re}\,z\bar{w}=\frac{1}{2}\Bigl(|z|^2+|w|^2-|z-w|^2\Bigr). $$

Она, конечно же используется -- ни один курс не обходится без упоминания модуля комплексного числа, а это и есть длина вектора (евклидова структура).

[ewert]

paha в сообщении #359323 писал(а):

Она, конечно же используется -- ни один курс не обходится без упоминания модуля комплексного числа, а это и есть длина вектора (евклидова структура).

Векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ (а речь была именно о нём и только о нём) -- само по себе никакого умножения не содержит, иначе не следовало называть его именно "векторным пространством", надо всё-таки выбирать выражения (следовало говорить "алгебра над полем", но тогда вопрос выглядел бы и вовсе нелепо). Модуля оно, кстати, тоже само по себе не содержит. Наконец, модуль, или длина вектора -- это вовсе не "евклидова структура", а всего лишь норма, и то, что она удовлетворяет заодно и тождеству параллелограмма, ещё не означает автоматом евклидовости.

В общем, бедные студенты...

[paha]

ewert в сообщении #359333 писал(а):

Векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ (а речь была именно о нём и только о нём)

а я прочел, что речь шла о комплексных числах, что подразумевает и умножение с делением, и норму, и аргумент :)

впрочем, это уже "толочь" воду в ступе: принципиальные с одной точки зрения обстоятельства видятся случайными с другой... Комплексных чисел в стандартном курсе аналитической геометрии вообще нет (опять же, надо [i]учебные планы [i] смотреть)... я учился в Политехе, так там комплексные числа на анализе в первом семестре появились.
Я бы и сам в разных курсах подчеркивал бы разные обстоятельства

(Оффтоп)

ewert в сообщении #359333 писал(а):

то, что она удовлетворяет заодно и тождеству параллелограмма, ещё не означает автоматом евклидовости

конечно, автоматом означает -- положительно определенная билинейная симметричная форма


Сотое сообщение в теме... dixi

[ewert]

(Оффтоп)

paha в сообщении #359341 писал(а):

ewert в сообщении #359333 писал(а):

Векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ (а речь была именно о нём и только о нём)

а я прочел, что речь шла о комплексных числах, что подразумевает и умножение с делением, и норму, и аргумент :)

Ну значит невнимательно или не то прочли, только и всего.

paha в сообщении #359341 писал(а):

ewert в сообщении #359333 писал(а):

то, что она удовлетворяет заодно и тождеству параллелограмма, ещё не означает автоматом евклидовости

конечно, автоматом означает -- положительно определенная билинейная симметричная форма

конечно нет. Наличие тождества означает лишь, что по такой норме при желании можно задать соответствующее скалярное произведение. А можно и не задавать. По умолчанию (если об этом явно не сказано) -- оно не считается заданным. На $\mathbb C$ оно безусловно не задано, и то, что нечаянно возникает как вещественная часть произведения -- всего лишь курьез, который в курсе и не используется (хотя для трюкачеств иногда и оказывается полезным).

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #359320 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #359290 писал(а):

Вопрос, который я хотел задать: В чем различие между векторным пространством $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ и евклидовым пространством $\mathbb{E}^2}$?

Пожалуйста, но вот ей-богу вновь неудачный вопрос и ещё более ответ. Разница "между векторным пространством $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ и евклидовым пространством $\mathbb{E}^2}$" ровно в наличии в последнем скалярного произведения и ни в чём более. Ибо если $\mathbb C$ рассматривается только как векторное пространство над $\mathbb R$, то никакого умножения в $\mathbb C$ при этом не предполагается.

$\mathbb{R}^2$ плюс $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$. Как называется это пространство? Спорить не буду. Буду пользоваться!

ewert в сообщении #359320 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #359290 писал(а):

Никто не говорит на лекциях по аналитической геометрии, что нельзя сравнивать векторное и скалярное произведения.

На лекциях (а особенно на практике) говорить о принципиальных различиях между ними можно и нужно. А вот задавать вопрос о таких различиях студентам как контрольный нельзя -- он слишком неопределённ.

Мне студенту задавали этот вопрос. Никаких проблем. Я задаю студентам этот вопрос никаких проблем.

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #359346 писал(а):

и то, что нечаянно возникает как вещественная часть произведения -- всего лишь курьез, который в курсе и не используется

Это не курьез, так же как и то, что мнимая часть задает симплектическую структуру.

А в курсе не используется, потому, что угол между векторами легче посчитать как аргумент числа $z\bar{w}$, но ведь это тот самый евклидов косинус

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #359356 писал(а):

$\mathbb{R}^2$ плюс $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$. Как называется это пространство?

Да никак не называется. Можно при желании назвать алгеброй комплексных чисел над полем вещественных, только кому это нужно.

Виктор Викторов в сообщении #359356 писал(а):

Я задаю студентам этот вопрос никаких проблем.

Какой вопрос: "Чем отличается векторное произведение от скалярного"?... Если бы мне его задали -- я бы встал в тупик. Наиболее адекватный вариант ответа: "Да Вы что, разве не знаете -- это ж совсем разные вещи!".

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #359368 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #359356 писал(а):

$\mathbb{R}^2$ плюс $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$. Как называется это пространство?

Да никак не называется. Можно при желании назвать алгеброй комплексных чисел над полем вещественных, только кому это нужно.

То же пространство?

Someone в сообщении #357842 писал(а):

...(вещественное) векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$

ewert в сообщении #358220 писал(а):

$\mathbb C$ интерпретируется именно как вещественное пространство.

Я спрашиваю только о терминологии. Как общепринято называть это "вещественное пространство" с Вашей точки зрения? Вспомним, что далеко не все знают, что такое алгебра.

paha в сообщении #359341 писал(а):

ewert в сообщении #359333 писал(а):

Векторное пространство $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$ (а речь была именно о нём и только о нём)

а я прочел, что речь шла о комплексных числах, что подразумевает и умножение ...

И мне казалось, что речь идёт о множестве комплексных чисел. Как же ему без умножения?