А кто первым "мяу"-то сказал?...
Я не говорил "мяу". Я сказал "гав" и покаялся.
Обсуждение закончено. Пора подводить итоги. Был задан вопрос:
В чем различие между комплексной плоскостью и

?
Мгновенно были получены два правильных ответа:
В том, что в первом случае есть некоторая дополнительная структура.
Как минимум на множестве комплексных чисел между ними определено умножение, не выводящее из этого множества.
Казалось все ясно. Векторное пространство

над полем

частный случай

. Добавлена одна аксиома, вводящая полноценное умножение вектора на вектор (в результате получаем вектор), и мы получаем векторное пространство

над полем

коммутативную алгебру.
Но тут раздались критические голоса: "На мой взгляд, немного странная постановка вопроса." "Такого рода постановки странны тем, что предполагает у студентов наличие не только математической подготовки, но и
серьёзных телепатических навыков". "Замечу, что дискуссию подогревает именно некорректная постановка".
А в чем дело-то? Вопрос прост как слеза и имеет однозначный ответ. Правда, довольно быстро я обнаружил, что хотел задать не этот вопрос. Поскольку раннего маразма у меня ещё нет (надеюсь), то это безграмотно начать с одного вопроса, а думать совершенно о другом.
Вопрос, который я хотел задать:
В чем различие между векторным пространством
над полем
и евклидовым пространством
?С моей точки зрения, это более интересный вопрос, т. к. ни одно из этих пространств не является частным случаем другого. Эти пространства весьма отличаются друг от друга, а различие ... по разному заданное произведение векторов. В одном случае имеем полноценное умножение вектора на вектор (в результате получаем вектор) векторное пространство

над полем

, коммутативную алгебру. А в другом скалярное произведение (произведение двух векторов дает вещественное число) и алгебра не просматривается. Но и тут не всё прошло гладко. Никто не говорит на лекциях по аналитической геометрии, что нельзя сравнивать векторное и скалярное произведения. Здесь же аналогичное сравнение вызвало спор. В итоге разобрались. Я даже научился пользоваться правильными терминами (надеюсь это заметно) и вспомнил о чём говорю.
Я благодарен за плодотворное обсуждение
ShMaxG,
Niclax,
Maslov,
paha,
BapuK,
terminator-II,
AD,
Профессор Снэйп и
Xaositect.
И особенно я благодарен за обсуждение и помощь
Someone и
ewert.