2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Верещагин, Шень. Изоморфизмы.
Сообщение03.10.2010, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Хорхе
Что такое "вполне упорядоченное"?
Хорхе в сообщении #358582 писал(а):
Точнее, не совсем вполне упорядочено, а такое, в котором каждое непустое ограниченное снизу множество имеет минимальный элемент -- как это называется?

Мм... не знаю. Но ведь и из второго, какое бы подмножество мы не взяли, будет минимальный элемент (сначала выберем элементы с минимальной второй координатой, а из них -- с минимальной первой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Изоморфизмы.
Сообщение03.10.2010, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
caxap в сообщении #358589 писал(а):
Хорхе
Что такое "вполне упорядоченное"?

Такое, в котором каждое непустое ограниченное снизу подмножество имеет минимальный элемент.

Впрочем, я не прочитал как следует, что там за порядок (сначала сравниваются вторые координаты), так что то, что я написал, неправильно.

-- Вс окт 03, 2010 16:13:01 --

Можно так.

Во втором луме для каждого элемента $b$ найдется такой $a<b$, что интервал $[a,b)$ бесконечен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Изоморфизмы.
Сообщение03.10.2010, 15:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Меня смущает "интервал $[a,b)$" у вас, ведь $a,b$ -- не точки, а пары точек. Но идею я, кажется, уловил.

Для любого элемента $(n,m)\in\mathbb Z\times \mathbb Z$ существует элемент $\mathbb Z\times \mathbb Z\ni(n',m')<(n,m)$ такой, что между ними бесконечное число других элементов: в качестве $m'$ можно взять $m-1$. Для $(n,m)\in\mathbb N\times\mathbb N$ это уже не верно: например, для элемента $(1,1)$ нельзя найти такого элемента, чтобы между ними было бесконечное число членов (второй координате некуда "опускаться").
Предположим, что существует изоморфизм $\varphi:\mathbb Z\times \mathbb Z\to\mathbb Z\times \mathbb N$. Тогда любые два элемента $a$ и $b$ из первого множества должны переходить в элементы $\varphi(a)$ и $\varphi(b)$ второго. Если между $a$ и $b$ имеется бесконечное число других элементов, то между $\varphi(a)$ и $\varphi(b)$ должно быть столько же. Но в первом абзаце мы показали, что такое не всегда возможно. Противоречие.

P. S. Хорхе, не могли бы вы посмотреть ещё предыдущую задачку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Изоморфизмы.
Сообщение03.10.2010, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Правильно. Предыдущая тоже правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Изоморфизмы.
Сообщение03.10.2010, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо!

101. Изоморфны ли лумы $\mathbb Z\times\mathbb Z$ и $\mathbb N\times\mathbb Z$? (порядок тот же: вторая координата "главная")

Я думаю, что не изоморфны. В первом множестве для любого элемента $(n,m)$ существует соседний элемент $(n',m')<(n,m)$. Если изоморфизм $\varphi: \mathbb Z\times\mathbb Z \to \mathbb N\times\mathbb Z$ существует, то и во втором множестве можно будет для любого элемента найти соседний меньший элемент. Но для элементов вида $(1,k)\in \mathbb N\times\mathbb Z$ не существует соседнего меньшего элемента (чтобы получить меньший элемент, можно только уменьшить вторую координату на 1, но тогда между любым меньшим элементом и $(1,k)$ будет бесконечное число элементов). Противоречие.

102. Изоморфны ли лумы $\mathbb Q\times\mathbb Z$ и $\mathbb Q\times\mathbb N$? (порядок тот же)

Я тут немного схитрю и воспользуюсь теоремой, которую я уже писал. Схитрю -- потому что она идёт после этой задачи :wink:

Оба множества счётны, плотны (за счёт рациональной первой координаты, между любыми двумя элементами будет третий), без наименьшего и наибольшего элемента (опять же, из-за рациональной координаты всегда есть больший и меньший элемент). Значит они изоморфны.

Но всё же хочется узнать, как построить конкретный изоморфизм.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group