Верещагин, Шень. Изоморфизмы.

[caxap]

Хорхе
Что такое "вполне упорядоченное"?

Хорхе в сообщении #358582 писал(а):

Точнее, не совсем вполне упорядочено, а такое, в котором каждое непустое ограниченное снизу множество имеет минимальный элемент -- как это называется?

Мм... не знаю. Но ведь и из второго, какое бы подмножество мы не взяли, будет минимальный элемент (сначала выберем элементы с минимальной второй координатой, а из них -- с минимальной первой).

[Хорхе]

caxap в сообщении #358589 писал(а):

Хорхе
Что такое "вполне упорядоченное"?

Такое, в котором каждое непустое ограниченное снизу подмножество имеет минимальный элемент.

Впрочем, я не прочитал как следует, что там за порядок (сначала сравниваются вторые координаты), так что то, что я написал, неправильно.

-- Вс окт 03, 2010 16:13:01 --

Можно так.

Во втором луме для каждого элемента $b$ найдется такой $a<b$, что интервал $[a,b)$ бесконечен.

[caxap]

Меня смущает "интервал $[a,b)$" у вас, ведь $a,b$ -- не точки, а пары точек. Но идею я, кажется, уловил.

Для любого элемента $(n,m)\in\mathbb Z\times \mathbb Z$ существует элемент $\mathbb Z\times \mathbb Z\ni(n',m')<(n,m)$ такой, что между ними бесконечное число других элементов: в качестве $m'$ можно взять $m-1$. Для $(n,m)\in\mathbb N\times\mathbb N$ это уже не верно: например, для элемента $(1,1)$ нельзя найти такого элемента, чтобы между ними было бесконечное число членов (второй координате некуда "опускаться").
Предположим, что существует изоморфизм $\varphi:\mathbb Z\times \mathbb Z\to\mathbb Z\times \mathbb N$. Тогда любые два элемента $a$ и $b$ из первого множества должны переходить в элементы $\varphi(a)$ и $\varphi(b)$ второго. Если между $a$ и $b$ имеется бесконечное число других элементов, то между $\varphi(a)$ и $\varphi(b)$ должно быть столько же. Но в первом абзаце мы показали, что такое не всегда возможно. Противоречие.

P. S. Хорхе, не могли бы вы посмотреть ещё предыдущую задачку.

[Хорхе]

Правильно. Предыдущая тоже правильно.

[caxap]

Спасибо!

101. Изоморфны ли лумы $\mathbb Z\times\mathbb Z$ и $\mathbb N\times\mathbb Z$? (порядок тот же: вторая координата "главная")

Я думаю, что не изоморфны. В первом множестве для любого элемента $(n,m)$ существует соседний элемент $(n',m')<(n,m)$. Если изоморфизм $\varphi: \mathbb Z\times\mathbb Z \to \mathbb N\times\mathbb Z$ существует, то и во втором множестве можно будет для любого элемента найти соседний меньший элемент. Но для элементов вида $(1,k)\in \mathbb N\times\mathbb Z$ не существует соседнего меньшего элемента (чтобы получить меньший элемент, можно только уменьшить вторую координату на 1, но тогда между любым меньшим элементом и $(1,k)$ будет бесконечное число элементов). Противоречие.

102. Изоморфны ли лумы $\mathbb Q\times\mathbb Z$ и $\mathbb Q\times\mathbb N$? (порядок тот же)

Я тут немного схитрю и воспользуюсь теоремой, которую я уже писал. Схитрю -- потому что она идёт после этой задачи

Оба множества счётны, плотны (за счёт рациональной первой координаты, между любыми двумя элементами будет третий), без наименьшего и наибольшего элемента (опять же, из-за рациональной координаты всегда есть больший и меньший элемент). Значит они изоморфны.

Но всё же хочется узнать, как построить конкретный изоморфизм.