Комплексная плоскость и RxR

[Виктор Викторов]

В чем различие между комплексной плоскостью и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$? Ответ мне известен, но из пяти студентов знал только один. Я подумал, может быть, и посетителям нашего Форума будет интересно подумать об этом?

[ewert]

В том, что в первом случае есть некоторая дополнительная структура.

(это надо не сюда, а в "Вопросы преподавания")

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #357505 писал(а):

это надо не сюда, а в "Вопросы преподавания"

Нет. Давайте выясним вопрос здесь. Вы-то ответ знаете. А студенты в "Вопросы преподавания" не ходят.

После секретной переписки с ewert, добавляю, что под $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ я понимаю обычное векторное пространство на плоскости.

[ShMaxG]

(Как я думаю)

Как минимум на множестве комплексных чисел между ними определено умножение, не выводящее из этого множества. Угадал?

[ewert]

(Оффтоп)

ShMaxG в сообщении #357512 писал(а):

на множестве комплексных чисел между ними определено умножение, не выводящее из этого множества.

А Вы уверены, что это -- единственно возможный способ введения такого умножения?... Я, честно говоря, не знаю. И даже думать в эту сторону не хочу. Главным образом потому, что уж студентам-то -- это точно неинтересно. Прикладникам, во всяком случае.

[ShMaxG]

А причем тут единственный или не единственный? В $\[{\mathbb{R}^2}\]$ и того нет...

[Niclax]

1. Обозначаются по-разному.
2. Называются по-разному.
3. Разное количество операций (если считать умножение на скаляр в $\mathbb{C}$ отдельной операцией)

Больше критериев сравнения в голову не пришло.

[Maslov]

На мой взгляд, немного странная постановка вопроса.

Как уже отметил ShMaxG, основная разница, наверное, все-таки в том, что множество комплексных чисел -- это поле, а $\[{\mathbb{R}^2}\]$, понимаемое как обычное векторное пространство, -- нет.

Определив на $\mathbb{R}^2$ умножение по правилу $(a_1, b_1)\cdot(a_2, b_2) = (a_1 b_1 - a_2 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1)$, получим $\mathbb{C}$

[paha]

$\mathbb{R}^2$ -- векторное пространство над $\mathbb{R}$, а $\mathbb{C}$ еще и алгебра (алгебра по определению -- это векторное пространство с умножением, при котором "скобки можно раскрывать" и "множители выносить"). Вот и вся разница

(Оффтоп)

ewert в сообщении #357518 писал(а):

А Вы уверены, что это -- единственно возможный способ введения такого умножения?

это единственно возможная алгебра с делением размерности 2 над $\mathbb{R}$... просто "умножение" можно по всякому выбирать -- классифицировать двумерные алгебры (ассоциативные) над $\mathbb{R}$ несложно

И -- да, странная постановка вопроса. Непонятно, что хотят от студента... может, того, чтобы он сказал, что плоскость -- это "модель Гаусса"?-)

[VoloCh]

Н-да, список длинный. еще $\mathbb{R}^2$ двумерно а $\mathbb{C}$ одномерно

[Виктор Викторов]

ShMaxG в сообщении #357512 писал(а):

Как минимум на множестве комплексных чисел между ними определено умножение, не выводящее из этого множества. Угадал?

ShMaxG! А почему Вы такую правильную мысль загоняете в Оффтоп? Конечно, угадали. В комплексном пространстве определено умножение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, а в $\[{\mathbb{R}^2}\]$ скалярное произведение $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$. И самое интересное, что больше различий нет. ewert, конечно, прав: вводить таким образом комплексные числа нельзя.

[BapuK]

VoloCh в сообщении #357543 писал(а):

Н-да, список длинный. еще $\mathbb{R}^2$ двумерно а $\mathbb{C}$ одномерно

С чего бы это вдруг? $\mathbb{C}$ так же двумерно, не зря же комплексным числам дают геометрическую интерпретацию на плоскости

[Виктор Викторов]

Maslov в сообщении #357531 писал(а):

На мой взгляд, немного странная постановка вопроса.

Чем странна постановка вопроса? Комплексное пространство и $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ оба векторные пространства над полем вещественных чисел. Определение умножения, как комплексного, так и скалярного не входит в определение линейного пространства, а умножение вектора на вещественное число работает и в $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ и в комплексном пространстве.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #357547 писал(а):

В комплексном пространстве определено умножение по формуле $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)$, а в $\[{\mathbb{R}^2}\]$ скалярное произведение $(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=x_1x_2+y_1y_2$.

Нет, вот так не хорошо говорить, тем более студентам. Эти два предлога "в" имеют совершенно разные смыслы.

[terminator-II]

VoloCh в сообщении #357543 писал(а):

Joined: 16/03/10
Posts: 138
Н-да, список длинный. еще $\mathbb{R}^2$ двумерно а $\mathbb{C}$ одномерно

самая любопытная фраза из всего произнесенного