Проверьте, пожалуйста, задачки по множествам

[caxap]

А на задачу про максимумы можно ещё подсказку?

-- Сб сен 25, 2010 12:26:54 --

ИСН в сообщении #356000 писал(а):

Слова "в ней берём окрестность точки самопересечения" в формулировке для 8 - совершенно лишние.

То есть берём по одной рац. точке внутри каждой окружности, составляющей восьмёрку. По отдельности точки могут принадлежать сразу многим другим восьмеркам, но пара точек определяет ровно одну восьмерку, т. к. иначе восьмерки бы пересекались.
А про "Т" верно?

-- Сб сен 25, 2010 12:46:00 --

И ещё вопрос: если функция не определена в какой-то точке, то это считается точкой разрыва? Если да, то

caxap в сообщении #355090 писал(а):

5. Докажите, что множество точек разрыва неубывающей функции действительного аргумента конечно или счетно.

неверно, т. к. функция может быть не определена на некотором несчётном множестве.

[Хорхе]

Как Вы думаете, Леди Гага является точкой разрыва для функции $\cos x$?

[caxap]

Хорхе
Понял. Последний вопрос снимается.

[Padawan]

caxap в сообщении #355991 писал(а):

Рассмотрим худший случай:...

Извините, но это не доказательство. Чем он худший?
Вот Вам подсказка. Допустим вертикальная палка у букв Т имеет размеры $2\leqslant l_1\leqslant 3$, а горизонтальная -- $0,5\leqslant l_2 \leqslant 0,6$. Можете ли доказать, что их не более, чем счётно?

[caxap]

Padawan в сообщении #356094 писал(а):

Чем он худший?

Я имел ввиду вообще, что если эти три рациональные точки принадлежат одной букве Т, то другой те же точки принадлежать не могут. Я не очень представляю, как это строго доказать, даже не знаю, в каком направлении думать, но чисто интуитивно понимаю, что если взять маленькую окрестность с центром в точке самопересечения (маленькая настолько, чтобы она пересекала свою букву Т в трёх точках), то худшее, что может быть -- когда окрестности двух букв Т пересекаются, в крайнем случае это будет примерно одна и та же окрестность:

Красной Т соотв. красные точки, синей -- синие. И красные и синие точки попадают в обе окрестности, но одновременно три красные (три синие) точки соответствуют только одной красной (синей) букве Т, благодаря тому, что мы знаем, что "Т" не могут пересекаться. Т. е. три точки задают как бы ориентацию (можно для определенности выбирать точки так, чтобы они составляли ровную букву "L" (причем горизонт. палка короче вертикальной), тогда ориентация вообще будет однозначно определяться).

(Вопрос пунктуации)

Нужно ли ставить запятую в "не более, чем счётно"?

[caxap]

В задаче про максимумы может надо сократить окрестность максимума до тех пор, пока слева и справа от максимума функция не будет монотонной? Тогда там других строгих максимумов не будет и можно взять две рац. точки (слева и справа от максимума)?

[Хорхе]

caxap в сообщении #356451 писал(а):

В задаче про максимумы может надо сократить окрестность максимума до тех пор, пока слева и справа от максимума функция не будет монотонной? Тогда там других строгих максимумов не будет и можно взять две рац. точки (слева и справа от максимума)?

Такой окрестности может не быть (пример, опять же --- функция $X$'a, где $X\in\{\text{Вейерштрасс, Риман}\}$). Впрочем, достаточно просто взять окрестность, где данное значение является максимальным. Подумайте почему.

[caxap]

Вроде бы дошло. Берём из окрестности (той, что в определении максимума) две рац. точки: слева и справа от него и получаем однозначное соответствие между максимами и парами рац. чисел. Только как-то надо доказать, что одна пара не может соответсововать нескольким максимумам. Сейчас буду думать...

[caxap]

Обозначим через $f$ рассматриваемую функцию и через $U(a)$ окрестность $a$, в которой $f(a)$ больше, чем во всех других точках этой окрестности.

Пусть есть два строгих максимума: $x$, $y$ (для определённости положим $f(x)\geqslant f(y)$ и $x>y$; остальные случаи аналогичны), которым соответствует одна и та же пара $\langle l,r\rangle\in\mathbb Q^2$. Значит интервал $(l,r)$ содержится и в $U(x)$ и в $U(y)$, а точки $x,y$ внутри этого интервала. Но тогда $x$ попадает в $U(y)$, а это невозможно, т. к. $f(x)\geqslant f(y)$. Противоречие.

Проверьте, пожалуйста.

-- Вс сен 26, 2010 21:40:58 --

Я так и не понял, задачка про T и 8 засчитана?