Проверьте, пожалуйста, задачки по множествам

[caxap]

Даже не знаю куда уже думать. Напрягает то, что максимумов может быть как рациональных чисел: в любом интервале есть максимумум. Взяли мы окрестность (ту, что в определении) и в ней будут другие максимумы. Сузили -- все равно будут.... Ведь надо ещё приплести сюда то, что это максимум, поскольку обычных точек более чем счетное число.
Про две точки тоже не понимаю смысла в упор. Ну, предположим, выбрали мы эти две точки каким-то способом, который мне предстоит узнать. И что дальше? Свяжим с ними интервал, который между ними? Так в нем есть другие максимумы! То есть этим двум рац. точкам должен соответстовать ровно один максимум. Но как из бесконечного числа возможных максимумов в интервале между этими точками выбрать одну (которая, к тому же, не обязательно рациональная)?
Что-то я прям вообще, аль дурак, аль одно из двух.
Может ещё поделителсь подсказкой?

[Хорхе]

Кстати, вот пример попроще (чего это меня на непрерывные функции переклинило), в котором локальные максимумы во всех рациональных точках. Кажись, это функцией Римана называется. Пусть $R(x)=0$ во всех иррациональных точках и $R(m/n)=1/n$ для неприводимой дроби $m/n$. Тогда в каждой рациональной точке $R$ будет иметь строгий локальный максимум.

Вернемся к нашим баранам. Вот выбрали Вы окрестность локального максимума. Выбрали же не просто так, а вот так, чтобы во всех остальных точках окрестности значение было меньше...

Ну и в итоге если подходящим образом выбрать пару рациональных точек в этой окрестности, то да, им будет соответствовать этот и только этот локальный максимум.

[caxap]

Хорхе в сообщении #355260 писал(а):

Вот выбрали Вы окрестность локального максимума. Выбрали же не просто так, а вот так, чтобы во всех остальных точках окрестности значение было меньше...

чем в точке максимума.

Хорхе в сообщении #355260 писал(а):

Ну и в итоге если подходящим образом выбрать пару рациональных точек в этой окрестности, то да, им будет соответствовать этот и только этот локальный максимум.

Это я уже понял. Но я не могу придумать никакого такого выбора этой пары, чтобы ей соответсвовал ровно один максимум.
Понятие ближайшей рац. точки не имеет смысла. Взять две любые рац. точки из окрестности (той, что в определении максимума) тоже не то, т.к. между ними может быть сколько угодно других максимумов.
Я интуитивно понимаю, что максимумов не может быть как $\mathbb R$, т.к. в этом случае они займут некоторый промежуток сплошняком и строгого максимума не будет. Но применить эту идею не получается.

Нельзя ли другим способом решить. Про две точки я вообще не понимаю. Вчера до сна думал и сегодня в универе.

[caxap]

Ладно, про максимумы пока отставим, я на ней завис.

А почему неверно моё доказательство про "T" и "8"?

[ИСН]

Потому что оно годится также для букв "О", для которых, однако, утверждение неверно.

[caxap]

ИСН в сообщении #355731 писал(а):

Потому что оно годится также для букв "О", для которых, однако, утверждение неверно.

А можете указать конкретное ошибочное место в доказательстве. С буквой "О" там не совсем так будет, в ней нет точки, за которую можно "зацепиться". А в "8" и в "Т" есть: точки касания окружностей и палок. Т.е. можно с каждой такой фигурой связать пару рац. чисел -- координату точки, которая попадет в окрестность точки "зацепки" (причём окрестность выбираем такую, чтобы она не пересекалась ни с какой другой фигурой). Таким образом у нас будет в/о соответсвие между фигурами и парами рац. чисел. А т.к. пар рац. чисел не более, чем счётно, то и фигур тоже. По-моему, всё честно.

С "О" я примерно представляю как можно их сделать более, чем счётное число: вкладываем их друг друга, чтобы они сплошняком заняли букву "О", т.е. получился бы закрашенная буква "О", каждая точка внутри которой принадлежала бы ровно одной "О".
В задании про "8" и "Т" сказано, что они не пересекаются. А иной способ расположить их очень плотно друг к другу я не вижу.

[Padawan]

caxap в сообщении #355838 писал(а):

Т.е. можно с каждой такой фигурой связать пару рац. чисел -- координату точки, которая попадет в окрестность точки "зацепки" (причём окрестность выбираем такую, чтобы она не пересекалась ни с какой другой фигурой). Таким образом у нас будет в/о соответсвие между фигурами и парами рац. чисел.

Где гарантия, что разным фигурам будут соответствовать разные рациональные точки?

[caxap]

Padawan в сообщении #355880 писал(а):

Где гарантия, что разным фигурам будут соответствовать разные рациональные точки?

caxap в сообщении #355838 писал(а):

(причём окрестность выбираем такую, чтобы она не пересекалась ни с какой другой фигурой).

По-моему, уменшая окрестность, всегда можно добиться, чтобы она перестала пеерсекать другую фигуру. А точка с рац. координатами всегда в ней будет, какая бы малая она не была. ??

[Someone]

caxap в сообщении #355882 писал(а):

По-моему, уменшая окрестность, всегда можно добиться, чтобы она перестала пеерсекать другую фигуру.

Если "другая" фигура одна, то да, проблем нет. А если их бесконечное множество?

[caxap]

А как тогда?
А можно "пробежаться" по всем точкам фигуры и выбрать любую, для которой существует окрестность, не пересекающая других фигур? Хотя бы одна такая точка будет, т.к. я не вижу способа, чтобы "8" и "T" можно было бы плотно упаковать друг к другу как "О".

[Someone]

Не поможет. Фигуры могут заполнять плоскость всюду плотно.

Вам же подсказывали уже, что нужно выбирать больше одной точки с рациональными координатами так, чтобы между фигурами и выбранными наборами точек гарантированно было взаимно однозначное соответствие. И речь уже заходила об окрестностях точек самопересечения заданных фигур.

[caxap]

А если (только для восьмёрок) взять окрестность около точки самопересечения. В этой окрестности берем две рац. точки: по одной в каждой окружности, которые образуют восьмёрку.
Для "Т" можно взять три точки (в окрестности точки самопересечения): слева от вертикальной палки, справа, и сверху.

[Someone]

Идея правильная, только объясните, почему для разных фигур получатся разные наборы точек. Может быть, придётся уточнить, какую окрестность нужно брать (для восьмёрок, кстати, совсем просто, даже если брать по одной рациональной точке из каждого круга, не обращая внимания ни на какие окрестности). Кстати, фигуры ведь могут быть ориентированы по-разному.

[caxap]

Someone в сообщении #355938 писал(а):

Идея правильная, только объясните, почему для разных фигур получатся разные наборы точек.

Для "8":
Рассмотрим худший случай: восьмерки вложены друг в друга, причем в любую окрестности точки самопересечения каждой восьмерки попадёт другая восьмёрка (как я понял, это называется "всюду плотно").

(Рис. 1)

И так они неограниченно друг в друга вставляются (в нижнюю окружность тоже). Внутри каждой восьмёрки, около точки самопересечения такая же картина.

Как уже писал, берём любую восьмёрку, в ней берём окрестность точки самопересечения и оттуда две рац. точки: в верхней и нижней окружности. Поскольку восьмёрки не могут пересекаться, то эта пара точек однозначно определяет только одну восьмёрку. Даже если одна из этих точек попадём в другую окружность, вторая точка туда же попасть не может, иначе бы восьмёрки пересеклись.

Для "Т":
Неохота рисовать рисунок, но смысл такой: буквы прилегают друг к другу прямыми участками, постепенно уменьшаясь в размере. Опять же: хотя каждая из выбранных трёх точек (слева,справа,сверху) может принадлежать окрестностям других букв "Т"; из-за того, что фигуры не могут пересекатся, все три точки могут одновременно соответсвовать только одной "Т".

Простите, я не очень умею переводить мысли в текст

[ИСН]

Слова "в ней берём окрестность точки самопересечения" в формулировке для 8 - совершенно лишние. В случае T, однако, что-то в этом роде нужно.