В вашей выкладке не хватает 2 вещей: случай четного n не рассмотрен, ну и надо бы обосновать почему вы в итоге придете к 2.
Полное доказательство части
с:
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
истинно по определению
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
, в части
a доказано, что
![$P(n) \Rightarrow P(n - 1)$ $P(n) \Rightarrow P(n - 1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/a/78a3e8b104f678052359ae2a8d06440a82.png)
, в части
b доказано, что
![$P(2) \wedge P(n) \Rightarrow P(2n)$ $P(2) \wedge P(n) \Rightarrow P(2n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/c/d3cfab8c5d6acf0bae027d028d2c61f282.png)
, тогда доказательство истинности
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
для определённого
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
сводится к следующему
В случае нечётного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
неравенство
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
держится на истинности неравенства
![$P(n + 1)$ $P(n + 1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/9/649d2cb11a1b4c16340e743b92ffd57a82.png)
, где
![$n + 1$ $n + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/4/0b46f732c83c0e66067b0e50c215608982.png)
является чётным, а
![$P(n + 1)$ $P(n + 1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/9/649d2cb11a1b4c16340e743b92ffd57a82.png)
в свою очередь держится на истинности
![$P(\frac{n + 1}{2})$ $P(\frac{n + 1}{2})$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/6/46649a7a83806d6e181ada71778768a682.png)
. В случае чётного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
неравенство
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
держится на истинности неравенства
![$P(\frac{n}{2})$ $P(\frac{n}{2})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/e/abee7ef16122d601d0025198c6b5d96382.png)
. Таким образом доказательство истинности
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
сводится к нисходящей рекурсии в корне которой должно получится
![$P(2)$ $P(2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/c/80cf2a320983d550f5666d11b9632b7882.png)
, истинность которого установлена по определению.
Можно определить рекуррентность
![$R(n)$ $R(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a71d9f3d0f646781e22c2b7b9d03ad4682.png)
для
![$\forall n \in \mathbb{N}$ $\forall n \in \mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/9/6e90577990941b66d6e9203f3023868f82.png)
, которая в виде равенства между разными
![$R(n)$ $R(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a71d9f3d0f646781e22c2b7b9d03ad4682.png)
отображает взаимосвязи следований между разными
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
, то есть
![$true \rightarrow P(2)$ $true \rightarrow P(2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/5/d9551076a54a07a3ed232ab25be9451f82.png)
- высказывание истинно (
![$:= true$ $:= true$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/a/21a57390fbb8855b0dfbc46155edade082.png)
) согласно определению
![$P(2n) \rightarrow P(2n - 1)$ $P(2n) \rightarrow P(2n - 1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/a/cba3171e1d3e84f68d7e22fa7042d1e382.png)
- высказывание истинно согласно доказательству части
a![$P(n) \rightarrow P(2n)$ $P(n) \rightarrow P(2n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/6/6a640781fede4a8b32b848e33ba13dad82.png)
- высказывание истинно согласно доказательству части
bДоказательство истинности
![$P(n)$ $P(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/2/e720ef2e3dc10278f2cc0341a863507482.png)
при любом
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
сводится к решению рекуррентности
![$R(2) = 2$ $R(2) = 2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/e/89e37914afd28253f18c240e2904b17382.png)
![$R(2n) = R(n)$ $R(2n) = R(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f25376eda1aef026dd68a87147a98c982.png)
Частный случай для первых
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
![$
\begin{center}
\begin{tabular}{ | c | c | c | c | c | c | c | c | c }
\hline
n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & ... \\ \hline
R(n) & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & ... \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
$ $
\begin{center}
\begin{tabular}{ | c | c | c | c | c | c | c | c | c }
\hline
n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & ... \\ \hline
R(n) & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & ... \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/e/75e3937f1510e14d90fd19eed8317c7282.png)
Индуктивное предположение
![$\forall n \in \mathbb{N}$ $\forall n \in \mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/9/6e90577990941b66d6e9203f3023868f82.png)
верно, так как рекуррентность решается при подстановке двойки в рекуррентные выражения.
Вопрос:Всё ли правильно в рассуждениях описанных выше? Я написал развёрнуто, так как чувствую, что что-то ускользает из ясного понимания принципа математической индукции и операции импликации (хотя я очень старался соблюсти таблицу истинности для
![$\rightarrow$ $\rightarrow$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/d/e5d134f35dc4949fab12ec64d186248a82.png)
).
Так же найдите место где вы пользовались
![$x_i\ge0$ $x_i\ge0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/7/db73320337d2db71e84b9551899cf2f082.png)
Если убрать условие
![$x_1...x_n \geq 0$ $x_1...x_n \geq 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/9/4599349722ce50d82f793052d69edddb82.png)
из первоначальной постановки
задачи, то при условии, что
![\forall i \in \mathbb{N}$ \forall i \in \mathbb{N}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e6ce199be2c989d770714441eccfb8982.png)
следующее
преобразование из доказательства части a
(1)
(2)не может выполнятся если ![$x_n = \frac {x_1 + ... + x_{n - 1} }{n - 1} < 0$ $x_n = \frac {x_1 + ... + x_{n - 1} }{n - 1} < 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/a/e0aeb0324aca09c58f4dc3fb837dd91282.png)
, так как тогда при делении обоих частей неравенства
(1) на
![$x_n$ $x_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/0/d7084ce258ffe96f77e4f3647b250bbf82.png)
вместо неравенства
(2) получим:
Вопрос:Ни упустил я ещё чего-то? Как вообще определить, что в доказательстве нет упущений и оно полное?