О распределении простых чисел

[Руст]

Цитата:

Можно ли говорить о пределе отношения числа чисел в верхней полуплоскости к числу чисел в ниженей полуплоскости?

Насчёт предела не знаю, но само отношение в пределах первых 100 000 простых числел выглядит примерно так: (по оси абсцисс -- порядковые номера простых чисел)

[/size][/off][/quote]
О пределе отношений не сложно доказать, что оно равно 1. Для целых $a$ это давно доказано (теорема Дирихле). Поэтому интересен график не отношения, а их разности, т.е. функции $S(x)$.

[meduza]

--

[e7e5]

Руст в сообщении #351518 писал(а):

Поэтому интересен график не отношения, а их разности

Руст, я не совсем точно выразил свою мысль. Именно разности и изучаю. Простые числа, когда происходит "скачок" от положительного значения к отрицательному и наоборот начинается так:
$31, 101, 167, 229, 269, 271, 307, 311, 313, 317, 331, 359, 439, 479, 487, 491, 691, 787, 797, 3739, 3761, 3821, …$
Сто тысяч - это еще небольшое значение, начиная от $76996169$ разность становится отрицательной и "ей не видна конца", при каком следующем простом снова перекинется к положительному значению?

У вас такой же ряд получается в начале?

[venco]

e7e5 в сообщении #351568 писал(а):

У вас такой же ряд получается в начале?

У меня переход через 0 приходится на простые числа:
29,101,163,229,263,271,293,359,433,491,683,3821,4013,4093,4139,6367...
После этих чисел количество простых в верхнем и нижнем полушарии равно, а следующее число сменит знак разности.

После 817354117 разность надолго уходит в минус (нижнее полушарие) и переходит в плюс на 2225219099.
После 3559448383 опять надолго уходит в минус и переходит в плюс на 5096541713.
Максимум для простых чисел до 10 миллиардов: 9474, минимум: -11543.
Очень похоже на случайное блуждание.

[venco]

Но перекос всё-таки есть. С вероятностью около $\frac 2 3$ текущая разница положительна.
В случае с остатком по модулю 4 с вероятностью >99% остатков 3 больше, чем 1, хотя разность тоже постоянно возвращается к нулю.

[Руст]

venco в сообщении #351790 писал(а):

Но перекос всё-таки есть. С вероятностью около $\frac 2 3$ текущая разница положительна.
В случае с остатком по модулю 4 с вероятностью >99% остатков 3 больше, чем 1, хотя разность тоже постоянно возвращается к нулю.

Поведение вполне регулярное. Когда имеется случайное блуждание то точки переходов между плюсом и минусом $N_i$ вообще говоря растут по геометрической прогрессии, т.е. $ln\frac{N_{i+1}}{N_i}$ положительная случайная величина, скорее всего распределенная по Пуассону. Максимальные отклонения в этом интервале примерно соответствуют квадратному корню от числа шагов в этом интервале, т.е. $\sqrt{\pi(N_{i+1})-\pi (N_i)}$.
Поэтому о преимущественных отклонениях в одну из сторон лучше судить по следующему параметру
$\sum_i (-1)^i\ln (N_i)$. Однако для суждения того, что она всегда положительна (или отрицательна) мало информации (мало вычисленных точек переходов).

[venco]

venco в сообщении #351790 писал(а):

Но перекос всё-таки есть. С вероятностью около $\frac 2 3$ текущая разница положительна.
В случае с остатком по модулю 4 с вероятностью >99% остатков 3 больше, чем 1, хотя разность тоже постоянно возвращается к нулю.

Такое поведение будет у случайного блуждания с вероятностью шага в одном направлении $\frac 1 2 + O(\frac 1 {\sqrt n})$.

[Droog_Andrey]

Народ, что вы делаете?

Выше были даны ссылки на вольфрам и на статью об этом отклонении. Всё уже изучено, читайте.

[venco]

Droog_Andrey в сообщении #352024 писал(а):

Народ, что вы делаете?

Выше были даны ссылки на вольфрам и на статью об этом отклонении. Всё уже изучено, читайте.

На Вольфраме никаких объяснений, и приведённых данных слишком мало. А постскрипт я читать ленюсь...

[e7e5]

Droog_Andrey в сообщении #352024 писал(а):

Выше были даны ссылки на вольфрам и на статью об этом отклонении. Всё уже изучено, читайте.

на вольфраме речь идет о несколько ином отклонении, или точно такое же, как обсуждается в теме?

-- Пн сен 13, 2010 21:12:29 --

venco в сообщении #351926 писал(а):

Такое поведение будет у случайного блуждания с вероятностью шага в одном направлении $\frac 1 2 + O(\frac 1 {\sqrt n})$.

venco, зная вероятность шага в одном направлении, можно ли оценить для больших чисел "области", в которых будут находиться простые?

Есть также мысль ( может ложная), что в таком случае эти области, как то увязаны с треугольником Паскаля
http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk ... ional.html

Зная одну точку перехода, можно от нее отталкиваться, считать следующую ( а что до этого было в принципе не так важно).

[Droog_Andrey]

Если кратко, то распределение целых степеней простых чисел (взвешенных $1/m$, где $m$-показатель степени) по классам вычетов $\mod n$ в среднем равномерное, и отклонения в распределении самих простых чисел вытекают из отклонений в распределении $p^m$ для $m>1$.

Например, для $n=4$ преобладание простых вида $4k+3$ над простыми вида $4k+1$ следует из того, что среди чётных степеней простых, наоборот, существенно преобладают $4k+1$

[e7e5]

Droog_Andrey в сообщении #352207 писал(а):

Если кратко, то распределение целых степеней простых чисел (взвешенных $1/m$, где $m$-показатель степени) по классам вычетов $\mod n$...

В текущей постановке задачи не используется $\mod n$, простое $p$ делится на $\pi$ и берется целая часть: $[p/ \pi]$ ( см первые посты темы)
Разве теория, на которую Вы, Droog_Andrey , ссылаетесь будет здесь верна?

[Droog_Andrey]

А какая, собственно, разница? Возьмите цепочку рациональных приближений $\pi$ и пустите $n$ по знаменателям - всего делов-то.

[age]

e7e5 в сообщении #344939 писал(а):

Какие-нибудь есть идеи?
Например, может каждое число делить на $\pi$, выделить целое.
Если целое - четное, обозначить буквой P, иначе N.

С учетом высокой "нормальности" распределения простых чисел, а также в соответствии с Законом больших чисел, количество чисел в верхней и нижней полуплоскостях будет стремиться строго к 50/50.

[Droog_Andrey]

Речь в задаче не об отношении, а о разности.