то, чо не изучают в математике

[arseniiv]

Эк вас занесло…

[a ^ a]

Это не в ответ...
Хотя, в чем то пересекается.
Вы допускали возможность обощить свое определение на бесконечные множества, вот и я допустил.

[a ^ a]

Ладно, давайте на примере. Так повеселее будет.
${x=\{a,b,c,d\}},{y=\{a,b,g,h\}},{z=\{n_m: n\in x, m\in y \}},{w=\{m_n: n\in x, m\in y \}} $.
Предположим, $c=\{g,h\}, g=\{d\}, h=d$.
Предлагается определить подмножеством какого из множеств $w_z$ или $z_w$ являются $a_b, c_g,g_c$ ?

Примерчик попроще:
${x=\{a,b\}}, {y=\{a,c\}}, z=\{n_m: n\in x, m\in y \}, w=\{m_n: n\in x, m\in y \} $.
Предположим, $a=\{c\}, c=b$
Какому из множеств $z$ или $w$ принадлежит $a_b$ ?

[a ^ a]

Ну и совсем веселый: ${x=\{z,\{w\}\}}, {y=\{a_{\varnothing}, a_{\{\varnothing\}}\}},{z=a_{\varnothing}}, {w=a_{\{\varnothing\}}}$ ${s=a_{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}$, предлагается доказать, что $z=w=s$ при любом $a$, после чего, воспользовавшись доказанной теоремой, доказать, что $\varnothing_1=\varnothing_2$.

[a ^ a]

Доказать, что множество $y$ содержит два элемента, привести любой.

-- Вс сен 12, 2010 21:39:58 --

Плоскость в декартовых координатах $x,y$.
Координаты всех точек заданы множеством: $\{x_n,y_m\}, n \in \mathbb{R}, m\in \mathbb{R}$.
Доказать, что:
1) координаты всех точек равны;
2) мощность множества точек плоскости эквивалентна мощности множества точек любого отрезка;
3) мощность множества всех точек не более чем $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$.

[arseniiv]

Ну это уж как играть формализмами, так и получится. Обычно $a_b$ определяется (может, и бессознательно/без точного описания) как неделимый один символ алфавита, а алфавит, как правило, строится индуктивно. В формальных теориях (насколько я знаю) обычно вообще алфавит определяют так:
$a \in V$
$v \in V \Rightarrow v' \in V$
и получают, конечно, $V = \{a, a', a'', \dots\}$, чем и довольствуются. Но к этому определению можно добавить ещё один пункт:
$v \in V \wedge n \in \mathbb N^+ \Rightarrow v_n \in V$ (где $\mathbb N^+ = \bigcup_{k \geqslant 1} \mathbb N^k$).

М?

[a ^ a]

С самим алфавитом особых проблем не вижу, за исключением необходимости приплетать арифметику. Проблема возникает в теории, для которой алфавит создавался. Его символы нужны для подстановки в них объектов теории. Но! частенько забывают, что для каждого объекта нужно использовать отдельный символ алфавита. И уж тем более, если дело касается теории в которой алфавит, собственно, и определялся, там трудновато разобраться, что куда подставляется – объект теории в элемент алфавита или элемент алфавита в объект теории.

[arseniiv]

У меня мало знаний, чтоб что-то определённое сказать, но мне кажется, всё это продумано в строгих формализациях.

[Xaositect]

Вроде бы все началось с последовательностей? Последовательность - это просто функция $\mathbb{N}\to X$, а $x_n$ означает то же самое, что $x(n)$, просто традиционная запись.

[a ^ a]

Все началось раньше.
Вот много букаф, вот дилемма нумерации:
1)Либо $\forall a \forall n (a_n \neq a_{n+1}: n\in \mathbb{N}) \to \varnothing_n\neq \varnothing_{n+1}$ (нумерация исключает тождество пустых множеств)
2)Либо $\forall a \forall n (a_n = a_{n+1}: n\in \mathbb{N}) \to \varnothing_n=\varnothing_{n+1}$ (тождество пустых множеств исключает нумерацию)
Вы какой вариант предпочитаете ?
Я думаю, Вы бы предпочли такой:
$\exists a \exists b \forall n (a_n = a_{n+1} \land b_n \neq b_{n+1} : n\in \mathbb{N})$ о чем я и написал много букаф.
Последнее означает, что непротиворечивость ZF(C) + нумерация(индексная запись), зависит от каждой конкретной нумерации того или иного множества.
Наивная запись $A=\{a_1,a_2,...a_n: n\in \mathbb{N}\}$ ничего не определяет, это не нумерация.
Как минимум, нужно указать на каком (каких) множествах эта нумерация задана, что-то вроде: $T_{true}=\{a \in T : a_n=a_{n+1}, n\in \mathbb{N}\}, T_{false}=\{a \in T : a_n \neq a_{n+1}, n\in \mathbb{N}\}$, где $T$ - множество, существование которого доказано в ZF(C). Иначе множество $A$ будет банальной нумерацией пустых множеств: $A=\{\varnothing_1, \varnothing_2,…\}$.

[Xaositect]

a ^ a в сообщении #351937 писал(а):

Все началось раньше.
Вот много букаф, вот дилемма нумерации:
1)Либо $\forall a \forall n (a_n \neq a_{n+1}: n\in \mathbb{N}) \to \varnothing_n\neq \varnothing_{n+1}$ (нумерация исключает тождество пустых множеств)
2)Либо $\forall a \forall n (a_n = a_{n+1}: n\in \mathbb{N}) \to \varnothing_n=\varnothing_{n+1}$ (тождество пустых множеств исключает нумерацию)

Объясните смысл символа $\varnothing_n$
И еще, $\forall a \forall n (a_n \neq a_{n+1}: n\in \mathbb{N})$ - это у Вас квантор ограниченный условием$n\in\mathbb{N}$?

[a ^ a]

Xaositect в сообщении #351941 писал(а):

Объясните смысл символа $\varnothing_n$

Теорема. Если $a_1$ и $a_2$ - пустые множества, то $a_1=a_2$ .
Доказательство.
Дано, $\forall b(b\notin a_1) \land \forall b(b \notin a_2)$.
По теоремам логики предикатов:
$((\forall x A(x)) \land (\forall x B(x)) \to \forall x(A(x) \land B(x))$
$(A \land B) \to (\neg A \leftrightarrow \neg B)$
$\forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$
По аксиоме экстенциональности:
$a_1=a_2$.
Обычно так это делается ?

Xaositect в сообщении #351941 писал(а):

И еще, $\forall a \forall n (a_n \neq a_{n+1}: n\in \mathbb{N})$ - это у Вас квантор ограниченный условием$n\in\mathbb{N}$?

Исключительно для наглядности "стандартной" нумерации $\mathbb{N}$, если уж говорить об основах, лучше писать просто $\forall a \forall n (a_n \neq a_{\{n\}})$

[Xaositect]

a ^ a в сообщении #352019 писал(а):

Обычно так это делается ?

Обычно так. А что же такое все-таки $\varnothing_n$?

a ^ a в сообщении #352019 писал(а):

Исключительно для наглядности "стандартной" нумерации $\mathbb{N}$, если уж говорить об основах, лучше писать просто $\forall a \forall n (a_n \neq a_{\{n\}}$

Тут не понял. $a$ - это последовательность? $n$ - это элемент модели арифметики? И в этой модели $n+1 = \{n\}$? Если да, то так и пишите $(\forall a\colon \mathbb{N}\to A) (\forall n\in \mathbb{N}) (a_n \neq a_{n+1})$

[a ^ a]

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

Обычно так. А что же такое все-таки $\varnothing_n$?

Символ алфавита ?

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

Тут не понял. $a$ - это последовательность? $n$ - это элемент модели арифметики?

$a,n$ - это множества ZF(C).

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

И в этой модели $n+1 = \{n\}$?

Будем считать, что это $n \cup \{n\}$.

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

Если да, то так и пишите $(\forall a\colon \mathbb{N}\to A) (\forall n\in \mathbb{N}) (a_n \neq a_{n+1})$

Нет еще $\mathbb{N}$, можно так:
$\forall a \forall n (a_n \neq a_{n\cup \{n\}})$ (ложь, естественно).

[Xaositect]

a ^ a в сообщении #352094 писал(а):

Символ алфавита ?

Ок, символ алфавита. Где Вы хотите его использовать?

Цитата:

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

Тут не понял. $a$ - это последовательность? $n$ - это элемент модели арифметики?

$a,n$ - это множества ZF(C).

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

И в этой модели $n+1 = \{n\}$?

Будем считать, что это $n \cup \{n\}$.

Xaositect в сообщении #352068 писал(а):

Если да, то так и пишите $(\forall a\colon \mathbb{N}\to A) (\forall n\in \mathbb{N}) (a_n \neq a_{n+1})$

Нет еще $\mathbb{N}$, можно так:
$\forall a \forall n (a_n \neq a_{n\cup \{n\}})$ (ложь, естественно).

Ну, такое $\mathbb{N}$ у нас есть. Оно существует по аксиоме бесконечности и называется $\omega$.
Раз $a$, $n$ и $n+1$ - это множества, то что такое $a_n$?