то, чо не изучают в математике

[a ^ a]

В чем отличие высказываний:
-дано множество натуральных чисел ;
-дано множество чего (шаров, например), занумерованных натуральными числами.

Шары могут обладать свойством, помимо своего номера. Например, шары могут быть красными и синими:
Множество красных шаров занумеровано натуральными числами $N_r$.
Множество синих шаров занумеровано натуральными числами $N_b$.
После этого говорится: все шары, занумерованы натуральными числами. И это истина.
А ведь, множества красных и синих шаров могут быть объединены по разному, но от этого они не перестанут быть занумерованными. Например, все синие шары следуют после красных или наоборот, все красные после синих, или они следуют по очереди.
Если красные следуют после синих, а синие после красных, то их объединение не имеет минимального элемента и является несчетным, не смотря на то, что каждый шар занумерован и имеет натуральный номер.
Это, как аксиомы геометрии. Например, прямые могут не пересекаться. Или могут пересекаться на бесконечности. Могут быть замкнутыми, есть разные топологии поверхностей и т.п.

Неужели ни один раздел математики не изучает это ? Я имею в виду редукцию от геометрии к алгебре, а не наоборот.
Есть ли в математике направления, которые предполагают подобное ?

[mihailm]

a ^ a в сообщении #341510 писал(а):

Неужели ни один раздел математики не изучает это ?

Совершенно верно - ни один раздел математики не изучает ЭТО

[a ^ a]

Печально...

Простите за ересь...

[gris]

Возьмём натуральные числа и занумеруем их. Помимо своего номера числа могут быть чётными и нечётными. На "своей" числовой оси они расположены по очереди.

Возьмём целые числа и занумеруем их. Помимо своего номера числа могут быть положительными и отрицательными. На "своей" числовой оси все отрицательные числа расположены до положительных.

[a ^ a]

Да, да, именно об этом и речь. Что значит : "возьмем натуральные числа" ? Из чего возьмем ? Из какого множества и как ?

[gris]

Всё это изучает теория множеств, только без этих страшных слов про синие шары и несчётность множества без минимального элемента. Почитайте про отношения эквивалентности, порядка. Про различные свойства множеств.
Множества можно и не "брать", а рассматривать. Тоже увлекательное занятие.

[a ^ a]

Нет, не все. Эти страшные вещи: про два множества шаров, занумерованных натуральными числами - не изучает - только определенным образом занумерованнных. С обязательной уникальностью минимального элемента... только так...

-- Чт июл 29, 2010 22:16:01 --

gris в сообщении #341530 писал(а):

Почитайте про отношения эквивалентности, порядка.

Про отношение эквивалентности очень увлекательно.
Как Вы думаете чем отличается отношение эквивалентности в логике, от отношения эквивалентности в математике ?
Очень просто, в математике, существует отношение эквивалентности, из которого не следует равенство, а в логике это неизбежно.

[hurtsy]

a ^ a в сообщении #341510 писал(а):

Если красные следуют после синих, а синие после красных, то их объединение не имеет минимального элемента и является несчетным, не смотря на то, что каждый шар занумерован и имеет натуральный номер.

Цитата:

Чуть помедленнее Кони, чуть помедленнее ...

В этой красно-синей компании только два недостижимых элемента, наибольший красный и наибольший синий. Куда Вы дели в рассуждениях квантор "Все"?
Из истинности

Цитата:

Все красные следуют после Всех синих, а Все синие после Всех красных,

следует любое утверждение, включая ложное.
С уважением,

[a ^ a]

hurtsy в сообщении #341775 писал(а):

В этой красно-синей компании только два недостижимых элемента, наибольший красный и наибольший синий. Куда Вы дели в рассуждениях квантор "Все"?

Не понял. Может формулу запишите. Что там с квантором ?

hurtsy в сообщении #341775 писал(а):

Из истинности

Цитата:

Все красные следуют после Всех синих, а Все синие после Всех красных,

следует любое утверждение, включая ложное.

Может мы по разному понимаем следование.
Скажем есть 1 синий и 1 красный шар, где противоречие в двух высказываниях: все красные следуют после всех синих, все синие после всех красных ? Получится: $(S(n_r)=n_k)\&(S(n_k)=n_r)$. В моем понимании, порядок определяется на основе следования, а не наоборот.

[gris]

Слово "следование" по отношению к натуральным числам уже занято г. Пеано. В его аксиоматике приведённая Вами логическая конструкция всегда ложна. Для любых двух реализаций аксиоматики Пеано существует биекция, сохраняющая следование, так что все они, грубо говоря, изоморфны. И никакой разницы между мандаринами и апельсинами нет.

Если же Вы под "следованием" понимаете нечто другое, то уж извольте определить что. На любом множестве можно установить "следование", когда каждый следует за каждым, и будет индуцировано отношение "порядка", когда все элементы равны друг другу, но как показывают исторические хроники, это лишь иллюзия и даже формальное её объявление не приводит ни к чему хорошему.

Подобные "тривиальные" определения могут служить лишь курьёзными примерами, но не могут лежать в основании содержательной теории. Если "можно всё", то никакая юриспруденция существовать не будет, и профессия адвоката становится ничтожной. И к чему тогда юридические факультеты и профессора права? То же и в математике.

[SerjeyMinsk]

Неужели сложно понимать, что число и множество - это одно и то-же? Сколько-ж можно заблуждаться?

[mihailm]

SerjeyMinsk в сообщении #341814 писал(а):

Неужели сложно понимать, что число и множество - это одно и то-же? Сколько-ж можно заблуждаться?

Очень сложно, я бы сказал невозможно)
продолжу ка я заблуждаться)))

P.S. Хотя для конечных упорядоченных множеств есть изоморфизм, но не с числами, а с целыми неотрицательными

[a ^ a]

gris в сообщении #341800 писал(а):

Слово "следование" по отношению к натуральным числам уже занято г. Пеано. В его аксиоматике приведённая Вами логическая конструкция всегда ложна. Для любых двух реализаций аксиоматики Пеано существует биекция, сохраняющая следование, так что все они, грубо говоря, изоморфны. И никакой разницы между мандаринами и апельсинами нет.

Речь идет не только о натуральных числах, а еще и ..., назовем их точками, занумерованными натуральными числами. Это другие объекты. Из равенства номеров не обязательно следует равенство точек. Назовем объединение этих точек линиями. Из эквивалентности линий не обязательно следует, что их объединение изоморфно любой из них. Даже так, изоморфизм частей и целого зависит от способа объединения.
"Для любых двух реализаций аксиоматики Пеано...". Что Вы имеете в виду ? Две идентичные записи аксиом или записи, учитывающие различие кадой из реализаций ? Если первое, то действительно непонятно, как Вы их различаете, если второе, то они различны по определению. Если же Вы имеете в виду модели, то с т.з. ТМ есть не изоморфные.

gris в сообщении #341800 писал(а):

Если же Вы под "следованием" понимаете нечто другое, то уж извольте определить что.

Если Вы не возражаете, что порядок определяется через следование, а не наоборот, то под следованием я понимаю запись $S(n)$ (можно черточку прибавить и т.п.)

gris в сообщении #341800 писал(а):

На любом множестве можно установить "следование", когда каждый следует за каждым, и будет индуцировано отношение "порядка", когда все элементы равны друг другу, но как показывают исторические хроники, это лишь иллюзия и даже формальное её объявление не приводит ни к чему хорошему.

Почитать бы эти исторические хроники, но речь не о том, что все равны друг другу, наоборот, они не равны по определению.

gris в сообщении #341800 писал(а):

Подобные "тривиальные" определения могут служить лишь курьёзными примерами, но не могут лежать в основании содержательной теории.

Не понял о чем Вы. Пока дело не касается бесконечности, теории одинаково "тривиальны".

gris в сообщении #341800 писал(а):

Если "можно всё", то никакая юриспруденция существовать не будет, и профессия адвоката становится ничтожной. И к чему тогда юридические факультеты и профессора права? То же и в математике.

Не вижу никакого криминала и покушений на то, что изучается в математике.

[SerjeyMinsk]

mihailm в сообщении #341818 писал(а):

SerjeyMinsk в сообщении #341814 писал(а):

Неужели сложно понимать, что число и множество - это одно и то-же? Сколько-ж можно заблуждаться?

Очень сложно, я бы сказал невозможно)
продолжу ка я заблуждаться)))

Только зачем? Если дорогу показывают.

[gris]

Я имел в виду модели. Не стану утверждать, что нет неизоморфных с какой-то точки зрения. Слаб в ТЧ. Поэтому и дискутирую
По поводу линий тоже недоумение возникло. Рассмотрим бесконечное множество. Всегда ли существует такое отношение эквивалентности, что фактор-множество счётно, а классы равномощны?
Предположим, мы ввели некоторое отношение порядка, а потом некоторое отношение эквивалентности, сохраняющее порядок. Ну типа разбиения прямой на полуоткрытые интервалы. Можно ли такое ввести на плоскости?
Можно покрыть плоскость счётным числом одинаковых фигур. А вот счётным семейством гладких кривых?
Но при чём тут красные шары? Вообще - в чём предмет Вашей теории?
Есть натуральные числа и естественное отношение порядка. Оно согласуется с операциями сложения и умножения. Оставим эти операции как есть и введём другое отношение порядка, основанное например на перенумерации. И к чему оно? Зачем?
В элементарной геометрии не закончена классификация выпуклых четырёхугольников. Нет названия для тех, которые имеют перпендикулярные диагонали. Или уже придумали?
В математике всегда найдётся нетронутый клочок территории, на которой можно начать возделывать свой маленький садик, построить домик и зажить в удовольствие.

Насчёт изоморфизма конечных множеств и натуральных чисел. Изоморфизм и относительно операций объединения и пересечения? Что же им будет соответствовать?