то, чо не изучают в математике

[arseniiv]

Ваше соответствие не взаимно однозначно. SerjeyMinsk говорит, что можно заменить все множества числами. Чтобы это было возможно, нужно, чтобы мы ничего не потеряли. Для этого нужно взаимно однозначное соответствие. К тому же, вы забыли ещё два множества, которые я просил "перевести" в числа. И напоследок:

hurtsy в сообщении #345747 писал(а):

${\{ \{ \varnothing ,\{ \varnothing \} ,\{ \{ \varnothing \} \} \} \} }$ соответствует 1

А почему не $83/277$?

[hurtsy]

arseniiv в сообщении #345756 писал(а):

А почему не ?

Для конечных множеств число $-$ количество элементов множества. Это однозначно. С уважением,

[arseniiv]

Не однозначное это соответствие, вы что. Первое и третье множества не равны, а вы им поставили в соответствие одно и то же число 2. Так нельзя.

[hurtsy]

arseniiv в сообщении #345815 писал(а):

Первое и третье множества не равны

По количеству элементов равны.
Дадите свое определение равенства $-$ получатся другие соответствия чисел и множеств. Вот и все. С уважением,

[venco]

hurtsy в сообщении #345829 писал(а):

Дадите свое определение равенства $-$ получатся другие соответствия чисел и множеств. Вот и все. С уважением,

А для множеств уже есть определение равенства, и по этому определению вышеупомянутые множества не равны.

[hurtsy]

venco в сообщении #345836 писал(а):

А для множеств уже есть определение равенства

Если есть, то давайте в студию, а там увидим какое соотношение между множествами и числами. Может есть, а может и нет (однозначности). В Канторовских множествах числа связаны с количеством элементов. А с Вашими я не знаком. С удовольствием ознакомлюсь. С уважением,

[Someone]

hurtsy в сообщении #345867 писал(а):

Если есть, то давайте в студию, а там увидим какое соотношение между множествами и числами.

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Формально: $A=B$ означает $\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$.

[a ^ a]

Могу предложить такой "велосипед".
Определим пару правил.
1). $\{\} < \{a\} < \{b,c\} < \{d,e,f\} < …$, или: $card (a) < card (b) \to a < b$.
2). $card( \cup a) < card (\cup b) \to a<b$
Последовательное применение правил 1,2 упорядочит любое конечное множество.
Можно определить что-то вроде меры.
Т.к. по аксиоме объемности $\{a,a,a,b,b,c,…\}=\{a,b,c,…\}$, то существует связь между глубиной вложения и количеством элементов. Множество нулевой меры (не допускаются вложения и последовательности) единственное:
0)$\{\}$.
Множества меры 1 (допускается вложение на глубину 1 и последовательность из 1 элемента):
0)$\{\}$
1) $\{\{\}\}$
меры 2:
0)$\{\}$
1) $\{\{\}\}$
2) $\{\{\{\}\}\}$
3)$\{\{\},\{\{\}\}\}$
Меры 3 имеет 15 элементов, и т.д. (дальше не считал).
По виду множества можно определить его минимальную меру, которая не может быть меньше количества элементов или глубины вложения.
Так что в примере:

arseniiv в сообщении #343947 писал(а):

1.${\{ \varnothing ,\{ \{ \varnothing \} \} \} }$
2.${\{ \{ \varnothing ,\{ \varnothing \} ,\{ \{ \varnothing \} \} \} \} }$
3.${\{ \varnothing ,\{ \{ \{ \varnothing \} \} ,\{ \varnothing ,\{ \varnothing \} ,\{ \{ \{ \{ \varnothing \} \} \} \} \} \} \} }$
...

можно сказать, что первое множество соответствует числу 6 для меры 3, которая для данного множества является минимальной.
Остальные не считал, в уме не реально, программку надо сочинять. Но, однозначно: 2<1<3 для любой меры.
Есть подозрения, что индуктивное множество из аксиомы бесконечности имеет избыточную меру, возможно, для бесконечного числа элементов не обязательно бесконечной глубины вложения.

[a ^ a]

...

[arseniiv]

А, кстати, то взаимно однозначное соответствие должно быть практически полезным.

[a ^ a]

Набросал програмку, формирующую множества меры 4.
Волосы начинают шевелиться.
Работает уже минут 20 и зависает все на большее время, пока могу сказать, что число элементов не менее 15809...

-- Сб авг 21, 2010 14:40:47 --

Обнаружил досадную ошибку
...но, все-равно, число элементов равно 5376, что не мало.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ваша "мера" для множеств получилась интересной для изучения! (Хотя вряд ли она чем-то поможет hurtsy
или SerjeyMinsk.) Пожалуй, определю свою.
Назовём глубиной множества следующее:
$\operatorname{depth} \varnothing := 0$
$\operatorname{depth} \left\{ {a_i } \right\}_{i \in I} := 1 + \mathop {\max }\limits_{i \in I} \operatorname{depth} a_i$
Можно бы её и на бесконечные множества как-нибудь обобщить, но пока не стоит, потому что интересна она мне по другой причине:
Задача: сколько имеется множеств глубины $n$? (Назовём это, допустим, $d_n$: $d_n := \left| {\left\{ {a\ |\ \operatorname{depth} a = n} \right\}} \right|$ .)
Думаю, какая-нибудь последовательность в OEIS уже есть. Даже было бы прекрасно, если бы кто-нибудь, её видевший, показал её номер.

-- Сб авг 21, 2010 17:55:42 --

a ^ a в сообщении #345942 писал(а):

Обнаружил досадную ошибку

Можно угадать? Различались $\{\varnothing\}$ и $\{\varnothing,\ \varnothing\}$?

-- Сб авг 21, 2010 18:15:57 --

Вывел рекуррентную формулу для $d_n$:

$$d_{n + 1} = \left( {2^{d_n} - 1} \right)2^{\sum_{i = 0}^{n - 1} {d_i}}$$

Надеюсь, я всё учёл и она верна. Осталось найти нерекуррентную, если такая имеет достаточно простой вид...

-- Сб авг 21, 2010 18:26:37 --

Ага, вот что накопалось:
http://mathworld.wolfram.com/Rank.html
A038081

[a ^ a]

arseniiv
Предположил, что число множеств "меры" $n$:

$$M_{n+1}={\sum_{p=0}^{n}{{C_{M_{n}}^p}} ={\sum_{p=0}^{n}{\frac{M_n!}{p!(M_n-p)!}}$$

но при $n=3$ верхний индекс суммы должен быть $4$, иначе результат не совпадает с построенным программно множеством. $M_4=2517$, что соответствует $M_3=16$. Глубже, на $M_5$ погрузиться не удалось.

[arseniiv]

Попробуйте его выразить через число множеств ранга (который я по незнанию назвал глубиной ) $n$? Может, что-нибудь получится получше. Ведь для $d_n$ есть не только выведенная мной формула, а ещё одна (она нерекуррентная, но варажается через другую рекуррентную) есть в OEIS по предыдущей ссылке. Вдруг это упростит вам что-нибудь?

[a ^ a]

В математике, да и вообще повсеместно, встречаются записи, вида : $a_1, a_2, b_1, c_3, d_n…$, причем абсолютно НИГДЕ нет формальных правил, определяющих когда это можно делать, а когда нет. Ситуация напоминает ситуацию в наивной теории множеств. Правда, пока никто не додумался составить на эту тему парадокс. Я попробую порассуждать, на эту тему, начав с самого общего и последовательно исключив неприемлемые варианты аксиом гипотетической «теории нумерации».
Для начала дам неформальное определение самой записи $x_n$.
В самом общем случае, еще до всякой математики, вместо $x$ и вместо $n$ можно подставлять что угодно. Но, чтобы не растекаться по древу, буду считать, их символами некого открытого алфавита. Попробую записать это формально логически: $\forall x \forall n (x_n)$ (1). Диковато, но зато все дозволено: $x_x, nc_{aa}, cd_{b_{dx}},…$ любой вариант можно снова подставлять в формулу, образовывая тем самым новый символ. Противоречий пока не видно, т.к. никакие совокупности просто не определяются, порядок не вводится.
Можно ли это назвать нумерацией ? Вряд ли.
Все-таки, в нумерации один из символов (обычно нижний) может быть заменен лишь на число (множество) и ни на что другое.
Это ограничение позволяет существенно уменьшить произвол. Но т.к. свойство «являться множеством ZF(C)» нельзя сформулировать без использования самих аксиом ZF(C), придется включать это правило в саму аксиоматику. Это, в свою очередь, порождает трудности. Во-первых, верхний символ не обязан быть множеством, а во-вторых, очень не желательно использовать квантор существования, т.к. случайно можно построить множество, существование которого не доказуемо в ZF(C) (или даже противоречие). Первоначальное: $\forall x \forall n (x_n)$ никуда не годится.
Очевидно, нужно как-то помечать верхний символ, чтобы обозначить, что он не обязан быть множеством. Можно все множества писать строчными символами, а то, что ими нумеруется - большими. Получится: $\forall X \forall n (X_n)$ (2). С одной стороны, совершенно не хочется добавлять что-либо к ZF(C), тем более то, что делит объекты получившейся теории на два типа. С другой, деление объектов на два типа (нумеруемого и номера) представляется неизбежным в самом основании любой формальной теории нумерации.
Поправив формулу (2), можно допустить что: $\exists X \forall n (X_n)$ (3). Причина замены квантора станет ясна ниже. Эта аксиома вполне совместима с ZF(C), никаких новых множеств она не порождает. Но во-первых, в этом случае теряется сам смысл деления объектов на то что нумеруют и то, чем нумеруют - вполне можно записать: $\exists x \forall n (x_n)$ (4), а, во-вторых, эти определения (2), (3), не учитывают еще одно важное интуитивное свойство нумерации, которое я пока не озвучивал - объектам не просто присваиваются номера(множества), эти множества должны быть упорядочены, по крайней мере образовывать предпорядок.
Конечно, я хотел избегать введения аксиомы, порождающей новые множества, опасаясь, что это может привести к противоречиям и доказательствам существования множеств, существование которых недоказуемо в ZF(C).
Но может ли это произойти при такой замене ? Сперва, может показаться, что индексная запись лексографически изоморфна скобочной записи но, при более внимательном рассмотрении, оказывается, что это не так. Индексная запись, может быть изоморфна лишь записи отношения подмножества: $a \subseteq P(a) \leftrightarrow P(a)_a$ или $a_{P(a)}$, которая также удовлетворит предпорядку на множестве номеров, а так как существование множества подмножеств уже гарантировано аксиомой степени, аксиому (4) можно было бы считать совместимой с ZF(C), явно указав, чем является $x$. Это либо: $\exists x \forall n (x \in P(n) \to n_x)$ (5.1), либо: $\exists x \forall n (x \in P(n) \to x_n)$ (5.2). Совмещение аксиом (5.1) и (5.2) в одной теории логично допускает все три возможности, которые требует интуиция нумерации:
1)иметь возможность одному и тому же объекту присваивать разные номера: $a_1,a_3, a_n$;
2)иметь возможность разным объектам присвоить один и тот же номер: $a_1, b_1, n_1$
3)иметь возможность определить предпорядок на множестве номеров;
В общем случае, неясно, ведет ли одновременное включение в теорию аксиом: (5.1) и (5.2) к противоречию. Решение этого вопроса как будто зависит от каждой конкретной нумерации, что напомнило мне странное примечание, совершенно из другой "оперы", ссылку на которое я заметил в одной из тем epros:

epros в сообщении #343930 писал(а):

Замечание касательно того, что доказуемость утверждения об общерекурсивности функции может зависеть от того, какой индекс (Гёделевкий номер?) для неё был выбран, также повергает меня в шок... Что бы всё это значило?

Но, в лубом случае, формальная неопределенность самого понятия нумерации, заставляет сомневаться в непротиворечивости тех конструкций, которые повсеместно и без каких-либо ограничений (как в голову взбредет), строятся с использованием индексной записи и называются при этом нумерацией.
Наивная нумерация.