2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение20.08.2010, 18:01 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ваше соответствие не взаимно однозначно. SerjeyMinsk говорит, что можно заменить все множества числами. Чтобы это было возможно, нужно, чтобы мы ничего не потеряли. Для этого нужно взаимно однозначное соответствие. К тому же, вы забыли ещё два множества, которые я просил "перевести" в числа. И напоследок:
hurtsy в сообщении #345747 писал(а):
${\{ \{ \varnothing ,\{ \varnothing \} ,\{ \{ \varnothing \} \} \} \} }$ соответствует 1
А почему не $83/277$?

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение20.08.2010, 18:55 


01/07/08
836
Киев
arseniiv в сообщении #345756 писал(а):
А почему не ?

Для конечных множеств число $-$ количество элементов множества. Это однозначно. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение20.08.2010, 22:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не однозначное это соответствие, вы что. Первое и третье множества не равны, а вы им поставили в соответствие одно и то же число 2. Так нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение20.08.2010, 22:42 


01/07/08
836
Киев
arseniiv в сообщении #345815 писал(а):
Первое и третье множества не равны

По количеству элементов равны.
Дадите свое определение равенства $-$ получатся другие соответствия чисел и множеств. Вот и все. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение20.08.2010, 22:53 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
hurtsy в сообщении #345829 писал(а):
Дадите свое определение равенства $-$ получатся другие соответствия чисел и множеств. Вот и все. С уважением,
А для множеств уже есть определение равенства, и по этому определению вышеупомянутые множества не равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 00:14 


01/07/08
836
Киев
venco в сообщении #345836 писал(а):
А для множеств уже есть определение равенства

Если есть, то давайте в студию, а там увидим какое соотношение между множествами и числами. Может есть, а может и нет (однозначности). В Канторовских множествах числа связаны с количеством элементов. А с Вашими я не знаком. С удовольствием ознакомлюсь. С уважением,

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
hurtsy в сообщении #345867 писал(а):
Если есть, то давайте в студию, а там увидим какое соотношение между множествами и числами.

Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Формально: $A=B$ означает $\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 11:37 
Заблокирован


17/03/10

139
Могу предложить такой "велосипед".
Определим пару правил.
1). $\{\} < \{a\} < \{b,c\} < \{d,e,f\} < …$, или: $card (a) < card (b) \to a < b$.
2). $card( \cup a) < card (\cup b) \to a<b$
Последовательное применение правил 1,2 упорядочит любое конечное множество.
Можно определить что-то вроде меры.
Т.к. по аксиоме объемности $\{a,a,a,b,b,c,…\}=\{a,b,c,…\}$, то существует связь между глубиной вложения и количеством элементов. Множество нулевой меры (не допускаются вложения и последовательности) единственное:
0)$\{\}$.
Множества меры 1 (допускается вложение на глубину 1 и последовательность из 1 элемента):
0)$\{\}$
1) $\{\{\}\}$
меры 2:
0)$\{\}$
1) $\{\{\}\}$
2) $\{\{\{\}\}\}$
3)$\{\{\},\{\{\}\}\}$
Меры 3 имеет 15 элементов, и т.д. (дальше не считал).
По виду множества можно определить его минимальную меру, которая не может быть меньше количества элементов или глубины вложения.
Так что в примере:
arseniiv в сообщении #343947 писал(а):
1.${\{ \varnothing ,\{ \{ \varnothing \} \} \} }$
2.${\{ \{ \varnothing ,\{ \varnothing \} ,\{ \{ \varnothing \} \} \} \} }$
3.${\{ \varnothing ,\{ \{ \{ \varnothing \} \} ,\{ \varnothing ,\{ \varnothing \} ,\{ \{ \{ \{ \varnothing \} \} \} \} \} \} \} }$
...

можно сказать, что первое множество соответствует числу 6 для меры 3, которая для данного множества является минимальной.
Остальные не считал, в уме не реально, программку надо сочинять. Но, однозначно: 2<1<3 для любой меры.
Есть подозрения, что индуктивное множество из аксиомы бесконечности имеет избыточную меру, возможно, для бесконечного числа элементов не обязательно бесконечной глубины вложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 11:37 
Заблокирован


17/03/10

139
...

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 12:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А, кстати, то взаимно однозначное соответствие должно быть практически полезным.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 13:59 
Заблокирован


17/03/10

139
Набросал програмку, формирующую множества меры 4.
Волосы начинают шевелиться.
Работает уже минут 20 и зависает все на большее время, пока могу сказать, что число элементов не менее 15809...

-- Сб авг 21, 2010 14:40:47 --

Обнаружил досадную ошибку :-(
...но, все-равно, число элементов равно 5376, что не мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение21.08.2010, 14:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Ваша "мера" для множеств получилась интересной для изучения! (Хотя вряд ли она чем-то поможет hurtsy
или SerjeyMinsk.) Пожалуй, определю свою.
Назовём глубиной множества следующее:
$\operatorname{depth} \varnothing := 0$
$\operatorname{depth} \left\{ {a_i } \right\}_{i \in I} := 1 + \mathop {\max }\limits_{i \in I} \operatorname{depth} a_i$
Можно бы её и на бесконечные множества как-нибудь обобщить, но пока не стоит, потому что интересна она мне по другой причине:
Задача: сколько имеется множеств глубины $n$? (Назовём это, допустим, $d_n$: $d_n := \left| {\left\{ {a\ |\ \operatorname{depth} a = n} \right\}} \right|$ .)
Думаю, какая-нибудь последовательность в OEIS уже есть. Даже было бы прекрасно, если бы кто-нибудь, её видевший, показал её номер. :-)


-- Сб авг 21, 2010 17:55:42 --

a ^ a в сообщении #345942 писал(а):
Обнаружил досадную ошибку :-(
Можно угадать? Различались $\{\varnothing\}$ и $\{\varnothing,\ \varnothing\}$? :-)

-- Сб авг 21, 2010 18:15:57 --

Вывел рекуррентную формулу для $d_n$:$$d_{n + 1} = \left( {2^{d_n} - 1} \right)2^{\sum_{i = 0}^{n - 1} {d_i}}$$Надеюсь, я всё учёл и она верна. Осталось найти нерекуррентную, если такая имеет достаточно простой вид...

-- Сб авг 21, 2010 18:26:37 --

Ага, вот что накопалось:
http://mathworld.wolfram.com/Rank.html
A038081

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение25.08.2010, 22:58 
Заблокирован


17/03/10

139
arseniiv
Предположил, что число множеств "меры" $n$: $$M_{n+1}={\sum_{p=0}^{n}{{C_{M_{n}}^p}}
={\sum_{p=0}^{n}{\frac{M_n!}{p!(M_n-p)!}}$$ но при $n=3$ верхний индекс суммы должен быть $4$, иначе результат не совпадает с построенным программно множеством. $M_4=2517$, что соответствует $M_3=16$. Глубже, на $M_5$ погрузиться не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение26.08.2010, 15:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Попробуйте его выразить через число множеств ранга (который я по незнанию назвал глубиной :-) ) $n$? Может, что-нибудь получится получше. Ведь для $d_n$ есть не только выведенная мной формула, а ещё одна (она нерекуррентная, но варажается через другую рекуррентную) есть в OEIS по предыдущей ссылке. Вдруг это упростит вам что-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: то, чо не изучают в математике
Сообщение11.09.2010, 09:50 
Заблокирован


17/03/10

139
В математике, да и вообще повсеместно, встречаются записи, вида : $a_1, a_2, b_1, c_3, d_n…$, причем абсолютно НИГДЕ нет формальных правил, определяющих когда это можно делать, а когда нет. Ситуация напоминает ситуацию в наивной теории множеств. Правда, пока никто не додумался составить на эту тему парадокс. Я попробую порассуждать, на эту тему, начав с самого общего и последовательно исключив неприемлемые варианты аксиом гипотетической «теории нумерации».
Для начала дам неформальное определение самой записи $x_n$.
В самом общем случае, еще до всякой математики, вместо $x$ и вместо $n$ можно подставлять что угодно. Но, чтобы не растекаться по древу, буду считать, их символами некого открытого алфавита. Попробую записать это формально логически: $\forall x \forall n (x_n)$ (1). Диковато, но зато все дозволено: $x_x, nc_{aa}, cd_{b_{dx}},…$ любой вариант можно снова подставлять в формулу, образовывая тем самым новый символ. Противоречий пока не видно, т.к. никакие совокупности просто не определяются, порядок не вводится.
Можно ли это назвать нумерацией ? Вряд ли.
Все-таки, в нумерации один из символов (обычно нижний) может быть заменен лишь на число (множество) и ни на что другое.
Это ограничение позволяет существенно уменьшить произвол. Но т.к. свойство «являться множеством ZF(C)» нельзя сформулировать без использования самих аксиом ZF(C), придется включать это правило в саму аксиоматику. Это, в свою очередь, порождает трудности. Во-первых, верхний символ не обязан быть множеством, а во-вторых, очень не желательно использовать квантор существования, т.к. случайно можно построить множество, существование которого не доказуемо в ZF(C) (или даже противоречие). Первоначальное: $\forall x \forall n (x_n)$ никуда не годится.
Очевидно, нужно как-то помечать верхний символ, чтобы обозначить, что он не обязан быть множеством. Можно все множества писать строчными символами, а то, что ими нумеруется - большими. Получится: $\forall X \forall n (X_n)$ (2). С одной стороны, совершенно не хочется добавлять что-либо к ZF(C), тем более то, что делит объекты получившейся теории на два типа. С другой, деление объектов на два типа (нумеруемого и номера) представляется неизбежным в самом основании любой формальной теории нумерации.
Поправив формулу (2), можно допустить что: $\exists X \forall n (X_n)$ (3). Причина замены квантора станет ясна ниже. Эта аксиома вполне совместима с ZF(C), никаких новых множеств она не порождает. Но во-первых, в этом случае теряется сам смысл деления объектов на то что нумеруют и то, чем нумеруют - вполне можно записать: $\exists x \forall n (x_n)$ (4), а, во-вторых, эти определения (2), (3), не учитывают еще одно важное интуитивное свойство нумерации, которое я пока не озвучивал - объектам не просто присваиваются номера(множества), эти множества должны быть упорядочены, по крайней мере образовывать предпорядок.
Конечно, я хотел избегать введения аксиомы, порождающей новые множества, опасаясь, что это может привести к противоречиям и доказательствам существования множеств, существование которых недоказуемо в ZF(C).
Но может ли это произойти при такой замене ? Сперва, может показаться, что индексная запись лексографически изоморфна скобочной записи но, при более внимательном рассмотрении, оказывается, что это не так. Индексная запись, может быть изоморфна лишь записи отношения подмножества: $a \subseteq P(a) \leftrightarrow P(a)_a$ или $a_{P(a)}$, которая также удовлетворит предпорядку на множестве номеров, а так как существование множества подмножеств уже гарантировано аксиомой степени, аксиому (4) можно было бы считать совместимой с ZF(C), явно указав, чем является $x$. Это либо: $\exists x \forall n (x \in P(n) \to n_x)$ (5.1), либо: $\exists x \forall n (x \in P(n) \to x_n)$ (5.2). Совмещение аксиом (5.1) и (5.2) в одной теории логично допускает все три возможности, которые требует интуиция нумерации:
1)иметь возможность одному и тому же объекту присваивать разные номера: $a_1,a_3, a_n$;
2)иметь возможность разным объектам присвоить один и тот же номер: $a_1, b_1, n_1$
3)иметь возможность определить предпорядок на множестве номеров;
В общем случае, неясно, ведет ли одновременное включение в теорию аксиом: (5.1) и (5.2) к противоречию. Решение этого вопроса как будто зависит от каждой конкретной нумерации, что напомнило мне странное примечание, совершенно из другой "оперы", ссылку на которое я заметил в одной из тем epros:
epros в сообщении #343930 писал(а):
Замечание касательно того, что доказуемость утверждения об общерекурсивности функции может зависеть от того, какой индекс (Гёделевкий номер?) для неё был выбран, также повергает меня в шок... Что бы всё это значило?

Но, в лубом случае, формальная неопределенность самого понятия нумерации, заставляет сомневаться в непротиворечивости тех конструкций, которые повсеместно и без каких-либо ограничений (как в голову взбредет), строятся с использованием индексной записи и называются при этом нумерацией.
Наивная нумерация.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group