Определение производной без использования понятия предела.

[dmd]

ewert в сообщении #349249 писал(а):

dmd в сообщении #349186 писал(а):

И почему нужно такую простую вещь объяснять? Ряды первичны!

Ни в коем разе. Ряды -- это очень, очень, очень частный случай. По сравнению с практикой. Вот попытайтесь-ка описать рядом какую-нибудь ступеньку (которая практически абсолютно необходима). А потом поглядите, что из этого выйдет.

Под краткими обозначениями смысл утрачен!
Все "ступеньки" - это не функции, а системы функций.
$|x|$ - не функция, а система двух функций и трёх областей определения, в нуле - точечная область с особыми условиями, точка перехода. В пределах каждой (не точечной) области определения системы - имеем только степенной ряд и ничего кроме.

[timots]

Лейбниц предложил три метода для отыскания производной. Это с применением бесконечно малой, предельно малой и формальный. Все они приводят к одному и тому же результату. Так что проблем с одной независимой переменной нет. Проблемы возникают с функциями с двумя и более независимыми переменными. Там и важно нахождения придела.

(Оффтоп)

Если бы я был работающим математиком я бы доказал полноту и разрешимость дифференциальных уравнений.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #349095 писал(а):

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1972/09/integral.htm

ewert! Спасибо за ссылку.

[Виктор Викторов]

dmd в сообщении #349290 писал(а):

$|x|$ - не функция

$y=|x|$ – функция. И это несомненно. Каждому элементу из области определения сопоставлен вполне определенный элемент области прибытия. В том числе нулю сопоставлен нуль.

[dmd]

timots в сообщении #349342 писал(а):

Лейбниц предложил три метода для отыскания производной. Это с применением бесконечно малой, предельно малой и формальный. Все они приводят к одному и тому же результату. Так что проблем с одной независимой переменной нет. Проблемы возникают с функциями с двумя и более независимыми переменными. Там и важно нахождения придела.

А в чём конкретно эти проблемы?
В алгебраическом анализе нет ни каких проблем с несколькими переменными. Производные выражаются через полиномиальные коэффициенты (пирамида Паскаля).

(Оффтоп)

Как раз самые вкусные бонусы ожидаются от алгебраического рассмотрения двух- трёх- четырёх-мерностей квадратичных-кубических нелинейностей.

[timots]

dmd
Извините, но даже для людей изучавших математику во Втузе как я это вещи тривиальные. Не хочу с Вами спорить. Мой совет посмотрите учебник.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #348416 писал(а):

Функция непрерывна в точке $x$, если полный прообраз каждой открытой окрестности $f(x)$ открытая окрестность $x$.

Тут я слегка заврался. Правильно будет так: Функция непрерывна в точке $x$, если полный прообраз каждой открытой окрестности $f(x)$ содержит открытую окрестность $x$. Или так: Функция непрерывна в точке $x$, если полный прообраз каждой окрестности $f(x)$ окрестность $x$.

Рассмотрим пример AD

AD в сообщении #348375 писал(а):

Если функцию Дирихле умножить на $x^2$, то получится нечто дифференцируемое в нуле.

Полный прообраз открытого множества $(-4, 4)$ есть открытый интервал $(-2, 2)$ в объединении с множеством всех иррациональных чисел. Это множество не является открытым множеством, но содержит открытое множество $(-2, 2)$, содержащее нуль.

[hurtsy]

Виктор Викторов в сообщении #346579 писал(а):

Предел и открытые множества – два различных подхода к одному и тому же понятию непрерывности.

Множество рациональных чисел, для определенности в $(0,1)$ богато открытыми подмножествами. Но о непрерывности вроде речь не возникает. С уважением,

[Виктор Викторов]

hurtsy в сообщении #350486 писал(а):

Множество рациональных чисел, для определенности в $(0,1)$ богато открытыми подмножествами.

В стандартной топологии числовой прямой каждое множество состоящее только из рациональных чисел не является открытым множеством.

[hurtsy]

Виктор Викторов в сообщении #350541 писал(а):

В стандартной топологии числовой прямой каждое множество состоящее только из рациональных чисел не является открытым множеством.

В теме до сих пор не затрагивалась стандартная топология. А из контекста темы я понял, открытое множество состоит только из внутренних точек. А чего не хватает рациональным числам? Что они все граничные? С уважением,

[Виктор Викторов]

В стандартной топологии числовой прямой каждое множество состоящее только из рациональных чисел состоит только из граничных точек. В каждой открытой окрестности каждого рационального числа есть иррациональные числа. В стандартной топологии числовой прямой открыты только открытые интервалы и любые их объединения.

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #350599 писал(а):

В каждой открытой окрестности каждого рационального числа есть иррациональные числа.

У меня такое ощущение, что Вы что-то недоговариваете. В силу плотности рациональных, в каждой открытой окрестности каждого иррационального числа есть рациональные числа. То есть иррациональные числа состоят только из граничных точек. Если рассмотреть любое "отдельно взятое" из открытых множеств, что в нем есть кроме граничных точек? Имхо, в "стандартной топологии числовой прямой" хорошо закопаны предельные переходы, от которых так желательно избавиться. С уважением,

[Виктор Викторов]

hurtsy в сообщении #350745 писал(а):

У меня такое ощущение, что Вы что-то недоговариваете.

Уважаемый hurtsy!
Я многое скрываю за семью печатями, но не в общей топологии.

hurtsy в сообщении #350745 писал(а):

В силу плотности рациональных, в каждой открытой окрестности каждого иррационального числа есть рациональные числа. То есть иррациональные числа состоят только из граничных точек.

Совершенно верно. Множество иррациональных чисел состоит только из граничных точек.
В этом смысле множество иррациональных чисел такое же, как и множество рациональных чисел. Но только в этом смысле. Различия: множество рациональных чисел счетно, а множество иррациональных чисел имеет мощность континуум; множество рациональных чисел – множество первой категории, а множество иррациональных чисел – множество второй категории.

hurtsy в сообщении #350745 писал(а):

Если рассмотреть любое "отдельно взятое" из открытых множеств, что в нем есть кроме граничных точек?

Пустое множество открыто. Каждое непустое открытое множество состоит только из внутренних точек. У него могут быть и граничные точки, но граничные точки открытого множества ему не принадлежат.

hurtsy в сообщении #350745 писал(а):

... в "стандартной топологии числовой прямой" хорошо закопаны предельные переходы, от которых так желательно избавиться.

Не понял.

У меня есть дополнения к этому тексту. Я об этом напишу завтра. Об открытых и замкнутых множествах есть у меня один материал, если он Вас интересует, напишите мне в ЛС Ваш e-mail.

[hurtsy]

Виктор Викторов в сообщении #350853 писал(а):

Множество иррациональных чисел состоит только из граничных точек.
В этом смысле множество иррациональных чисел такое же, как и множество рациональных чисел. Но только в этом смысле. Различия: множество рациональных чисел счетно, а множество иррациональных чисел имеет мощность континуум; множество рациональных чисел – множество первой категории, а множество иррациональных чисел – множество второй категории.

Мощности и категории сущности не топологические. А топология, имхо, изучает инварианты непрерывных преобразований. Топология конечных( следовательно замкнутых) точечных множеств не обходится без погружения их во что-то непрерывное. Вооружусь обещанным Вами материалом, может смогу возражать обоснованно.

Виктор Викторов в сообщении #350853 писал(а):

hurtsy в сообщении #350745 писал(а):
... в "стандартной топологии числовой прямой" хорошо закопаны предельные переходы, от которых так желательно избавиться.

Не понял.

Я попытался составить из граничных множеств ( рациональных точек и иррациональных) открытое множество и не могу понять откуда возьмутся внутренние точки. С уважением,

[Виктор Викторов]

hurtsy в сообщении #350883 писал(а):

Мощности и категории сущности не топологические.

Множество называется множеством первой категории (или тощим), если оно не более чем счётное объединение нигде не плотных множеств. Понятие множества первой категории – сущность топологическая. Что касается мощности, то Вы правы. Но я не рискну написать «В этом смысле множество иррациональных чисел такое же, как и множество рациональных чисел», не добавив, но «множество рациональных чисел счетно, а множество иррациональных чисел имеет мощность континуум».

hurtsy в сообщении #350883 писал(а):

Я попытался составить из граничных множеств ( рациональных точек и иррациональных) открытое множество и не могу понять откуда возьмутся внутренние точки.

Множество вещественных чисел объединение множества иррациональных чисел и множества рациональных чисел. И каждая, точка множества вещественных чисел для него внутренняя, но каждая точка множества вещественных чисел граничная для множества рациональных чисел и каждая точка множества вещественных чисел граничная для множества иррациональных чисел.