По мотивам Литлвуда

[a ^ a]

Andrey Lukyanov в сообщении #349252 писал(а):

А вот и разгадка. Все шары будут находиться внизу второго магазина. А низа у него нет. Значит, все шары будут находиться в месте, которого нет. Второй магазин действительно будет пуст!

А что Вы хотели ? Когда изначально свойства чисел (множеств) переносятся на объекты, которые ими могут и не обладать, неудивительно, что эти объекты исчезают в пустом множестве. В Вашем соседнем топике упоминалось, что не имеет значения, чем отличаются шары, Вы похоже разделяете это мнение. На самом деле два условия: даны натуральные числа, и даны шары, занумерованные натуральными числами, совершенно разные. Второе может не иметь теоретико-множественной формулировки просто потому, что свойства шаров могут не совпадать со свойствами чисел.

[Лукомор]

Andrey Lukyanov в сообщении #349230 писал(а):

У нашего магазина нет низа, он бесконечный.

Andrey Lukyanov в сообщении #349219 писал(а):

Куда же денутся шары?

Поскольку у магазина нет низа, в любой момент времени магазин будет пуст.
Все шары провалятся... в бесконечность!

-- Пт сен 03, 2010 08:55:40 --

Я придумал подобный пример (про деление бактерий) и уже приводил его на параллельном топике.
Напомню.
"В бесконечный контейнер помещаем бактерию и присваиваем ей номер № 1.
За минуту до полудня бактерия делится пополам.
Нумеруем "детишек" в двоичке № 10 и № 11.
Через полминуты № 10 делится на № 100 и № 101, а № 11 соответственно на № 110 и № 111.
В контейнере теперь четыре бактерии третьего поколения.
Пусть время между делением бактерий уменьшается для каждого поколения в два раза.
Соответственно, количество бактерий в каждом поколении в два раза больше, чем в предыдущем.
В итоге, вскрыв контейнер ровно в полдень, убеждаемся, что в нём нет ни одной бактерии, так как
"все они разделились"...
Действительно, для каждой бактерии № N можно указать момент времени до полудня, когда она разделится, и нельзя указать ни одного номера бактерии, которая будет находиться в контейнере точно в полдень".

[a ^ a]

epros в сообщении #349124 писал(а):

Неизвестно. Теоретико-множественная задача однозначно не определена, ибо непонятно что такое "произвольный" выбор.

По поводу "произвольного выбора" это камешек в сторону аксиомы ? По моему задача не определена потому что предлагается различать то, что в ТМ тождественно. Шарам приписывается неравенство, противоречащее аксиоме экстенциональности.
К тому же предполагается счетность шаров.

[ShMaxG]

Мне кажется, что утверждать, что у каждого шара обязано быть свое место после полудня, это все равно что утверждать, что существует конечный предел $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n\]$. Но это же не так. И вообще, не всякий предел существует. Вот тут как раз такая ситуация. И что? Противоречия никакого нет.

[a ^ a]

Лукомор в сообщении #349315 писал(а):

В итоге, вскрыв контейнер ровно в полдень, убеждаемся, что в нём нет ни одной бактерии, так как
"все они разделились"...
Действительно, для каждой бактерии № N можно указать момент времени до полудня, когда она разделится, и нельзя указать ни одного номера бактерии, которая будет находиться в контейнере точно в полдень".

Почему же, хоть "натуральные" бактерии и исчезнут, номера то остануться, естественно не натуральные. Кстати, Вы забыли оговорить в условии, что бесконечный контейнер имеет дно

[epros]

a ^ a в сообщении #349319 писал(а):

По поводу "произвольного выбора" это камешек в сторону аксиомы ?

Нет, аксиома выбора тут не причём, то, что выбор из двух шаров существует, сомнению не подвергается. Проблема только в слове "произвольный" - оно мешает нам определить какой именно шар был вынут и делает условия задачи недостаточно определёнными.

a ^ a в сообщении #349319 писал(а):

Шарам приписывается неравенство, противоречащее аксиоме экстенциональности.

С какой стати? Шары - разные по условию задачи, никаким аксиомам теории множеств это не противоречит.

[a ^ a]

epros в сообщении #349329 писал(а):

:?: С какой стати? Шары - разные по условию задачи, никаким аксиомам теории множеств это не противоречит.

Разные - слишком широкое понятие. Одно дело, когда шары различаются, как множества, совсем другое, когда они различаются глубже.
Сравнивая шары по написанным на них номерам, (множествам из $\mathbb{N}$) $b_1,b_2$, $\forall a(a\in b_1 \leftrightarrow a \in b_2) \to b_1=b_2$, мы, естественно, не определим функцию выбора, т.к. с точки зрения ТМ, это один и тот же номер, следователньно, это один и тот же шар.
С точки зрения ТМ различаться они могут только, если помимо записанных на них номеров, существуют номера, так сказать, невидимые, к которым и стоит применять аксиому экстенциональности. В этом случае можно рассуждать о несчетности шаров и есть смысл искать решение в рамках ТМ.
Однако, подобное допущение опять таки, предполагает домысливание тех же условий - множественную природу различий шаров. Что-то типа: т.к. каждый шар имеет номер, то все выводы, относящиеся к номерам распространяются на все шары. Ложное обобщение. Номера одинаковые, шары разные. Еще ярче это проявляется на бесконечности. Выше я рисовал графы, второй рисунок противоречит ТМ, этот граф не представим множеством, но это же не значит, что таких графов не существует.

[master]

Andrey Lukyanov в сообщении #349205 писал(а):

В первом магазине находятся пронумерованные шары: наверху номер 1, под ним номер 2 и т. д. до бесконечности.

невозможно

[epros]

Ёлы-палы, я ничего не понял... Шары "разные" или "один и тот же" по условию задачи. Больше тут рассуждать не о чем. И номера нам нужны были только для того, чтобы понять, о каких шарах идёт речь. Поэтому всякая фигня с их переписыванием - это незаконный трюк.

[Null]

Думаю проблема в том что понятие верхний шар в данном случае не определенно. Я же могу сказать например: "Наибольшее натуральное число"

[a ^ a]

По условию, шары разные, номера одни и теже.
Формально ($a,b$ - шары, $n$ - их номера): $n=n \to a_n=b_n$ - ложь, по условию.
Для того, чтобы понять, о каких шарах идет речь, их номеров не достаточно, по условию. Частный случай, когда все шары $a,b$, составляют множество $C$, с подмножествами : $A=\{a_n \in C | n \in \mathbb {N}\}, B=\{b_n \in C | n \in \mathbb{N}\}$, не позволяет сделать однозначный вывод о соотношении множеств $A,B,C$. Чего уж говорить об общем случае, когда шары $a,b $ не обязательно составляют множество.

[В.О.]

ShMaxG в сообщении #349321 писал(а):

не всякий предел существует

Парадокс возникает из-за некорректного вопроса.
Математическая формулировка исходного вопроса - каков будет предел описанного процесса?
Ответ: предела не существует.
Никаких парадоксов.

[ShMaxG]

А почему вопрос -- некорректный? "Существует ли предел такой-то?" -- это корректный вопрос? Да. Ну так и в этом случае. Впрочем, это уже оффтоп.

[Null]

Вопрос не о существовании предела, а о его свойствах. Какие могут быть свойства у несущесвующего объекта? Мне на ум приходит только не существование.

[В.О.]

ShMaxG в сообщении #349390 писал(а):

А почему вопрос -- некорректный?

Что будет в полдень, это вопрос не математический. Наверное, физический. Но если отвечать на физический вопрос, то нужно разобраться совместимо ли с физическими представлениями передвижение шаров через сколь угодно малое время.
Есть физическая (или биологическая, или философская, или психологическая или какая другая) задача, и есть ее математичекая формализация. Это две разные вещи.
Впрочем, все написанное к математике отношения не имеет и может быть удалено как оффтоп.