доказать наличие идемпотента в конечной полугруппе

[spyphy]

Надо доказать существование идемпотента в любой конечной полугруппе.

Идемпотент - такой элемент $ a $, что $ a^2=a $.
Полугруппа - множество с ассоциативной бинарной операцией.

На вид задача простая, поэтому Вы просто обязаны знать как ее решать.
Только я чего-то еще не досообразил... У, конечно, меня была мысль непосредственно проверить это для каждого элемента x в каждой полугруппе порядка n для всех n...

[maxmatem]

Ну для начала приведите пример какой-нибудь конечной полугруппы, и попробуйте там найти идемпотент.

[Xaositect]

Было
topic32872.html

[spyphy]

Xaositect в сообщении #348512 писал(а):

Было topic32872.html

хорошо, не заметил

[Профессор Снэйп]

Уже обсуждалось.

Каждая компактная хаусдорфова полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, содержит идемпотент (см., например, тут). Если конечную полугруппу снабдить дискретной топологией, получится компакт с непрерывной операцией

(Оффтоп)

Если не стрелять из пушки по воробьям, то всё совсем просто. Пусть $G$ --- исходная полугруппа. Рассмотрим минимальную по включению непустую подполугруппу $H \subseteq G$ и $x \in H$. Из минимальности $xH = H$, $\{ y \in H : xy = x \} = H$ и $x^2=x$.