Надо доказать существование идемпотента в любой конечной полугруппе.
Идемпотент - такой элемент

, что

.
Полугруппа - множество с ассоциативной бинарной операцией.
На вид задача простая, поэтому Вы просто обязаны знать как ее решать.
Только я чего-то еще не досообразил... У, конечно, меня была мысль непосредственно проверить это для каждого элемента x в каждой полугруппе порядка n для всех n...