Бинарная операция на сфере

[Профессор Снэйп]

На сфере (в $\mathbb{R}^3$, хотя на самом деле это не так важно) задана непрерывная бинарная операция, обладающая свойством ассоциативности. Доказать, что сфера содержит идемпотент (то есть такой элемент $e \in S$, что $e \times e = e$).

[MaхVT]

Пусть $S$ --- сфера в $\mathbb{R}^3.$ Так как в $\mathbb{R}^3$ сфера ограничена и замкнута, то она является компактом. По теореме Тихонова произведение компактов $S\times S$ тоже компакт.
Бинарная операция по условию задается непрерывным отображением $f\colon S\times S\to S.$
Рассмотрим последовательность равенств $f(a_{1},a_{1})=a_{2},f(a_{2},a_{2})=a_{3},\ldots,f(a_{n},a_{n})=a_{n+1},\ldots,$ где $a_{i}\in S\quad\forall i\in\{1,\ldots,n,\ldots\}.$ Согласно секвенциальному критерию компактности из каждой последовательности точек компакта можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в нём. Выделим из последовательности $a_{2},\ldots,a_{n},\ldots$ подпоследовательность $a_{n_k}$ такую, что $\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_{k}}=a\in S.$ Из последовательности $(a_{1},a_{1}),\ldots,(a_{n},a_{n}),\ldots$ естественно выделим подпоследовательность $(a_{n_k},a_{n_k}).$ В компакте $S\times S$ будем иметь $\lim\limits_{k\to\infty}(a_{n_k},a_{n_k})=(a,a).$ Итак, получаем, что $\lim\limits_{k\to\infty}f(a_{n_k},a_{n_k})=a,$ но в силу непрерывности $f$ можно написать $\lim\limits_{k\to\infty}f(a_{n_k},a_{n_k})=f(\lim\limits_{k\to\infty}(a_{n_k},a_{n_k}))=f(a,a).$
Таким образом, $f(a,a)=a.$

[Brukvalub]

MaхVT писал(а):

Итак, получаем, что $\lim\limits_{k\to\infty}f(a_{n_k},a_{n_k})=a$

Вот это место я прошу разъяснить поподробнее

[MaхVT]

Ага. Понял ошибку: $\lim\limits_{k\to\infty}f(a_{n_k},a_{n_k})=lim\limits_{k\to\infty}a_{{n_k}+1}$.
Короче говоря, справа получается другая подпоследовательность. Позорная ошибка.
То-то я думаю, что ассоциативность нигде не используется.

[Руст]

MaхVT писал(а):

В компакте $S\times S$ будем иметь $\lim\limits_{k\to\infty}(a_{n_k},a_{n_k})=(a,a).$ Итак, получаем, что $\lim\limits_{k\to\infty}f(a_{n_k},a_{n_k})=a,$ но в силу непрерывности $f$ можно написать $\lim\limits_{k\to\infty}f(a_{n_k},a_{n_k})=f(\lim\limits_{k\to\infty}(a_{n_k},a_{n_k}))=f(a,a).$
Таким образом, $f(a,a)=a.$

Вообще то $f(a_{n_k},a_{n_k})=a_{n_k+1}\not =a_{n_{k+1}}$. Поэтому ваши рассуждения дают только $f(a,a)=b\not =a$.

[Профессор Снэйп]

Да. Насчёт того, что надо использовать компактность сферы --- правильная идея. Тут MaxVT в точку попал. Но как её использовать --- это уже другой вопрос

Вот, кстати, другая задача. Она значительно проще, но её можно решить теми же методами, что и исходную.

Доказать, что каждая конечная полугруппа (то есть конечная система с ассоциативной бинарной операцией) содержит идемпотент.

[TOTAL]

Предположив, что минимум (который достигается) функции $|A*A-A|$ отличен от нуля,
получим противоречие из того, что функция $A*B$ равномерно непрерывна.
(Возьмем сколь угодно близкие $A, \; A^p$, затем $A^p*A^{p-2}=A^{p-1}* A^{p-1}, \; A*A^{p-2}=A^{p-1}$)

[Профессор Снэйп]

Извините, не понял Нельзя ли немного подробнее?

[TOTAL]

1) функция $A*A-A$ непрерывна
2) функция $A*B$ равномерно непрерывна
3) найдутся сколь угодно близкие $A, \; A^p$
С чем-то из этого не согласны?

[Профессор Снэйп]

С 1 и 2 безоговорочно согласен. Третье непонятно. И даже если третье верно, то непонятно, что с этим дальше делать.

Добавлено спустя 15 минут 46 секунд:

Я воспринимаю третий пункт как следующее утверждение: для любого $\varepsilon >0$ существуют $A \in S$ и целое $p > 1$, такие что $\| A - A^p \| < \varepsilon$. Возможно, Вы вкладываете в это какой-то другой смысл.

[TOTAL]

3) Среди $b^{2^n},\; n=1,2,3,...$ найдутся два сколь угодно близкие, одно из них обозначим $A$ другое $A^p$
Таким образом, (из равномерной непрерывности) сколь угодно близкими могут быть сделаны $A^{p}*A^{p-2}$ и $A*A^{p-2}$, т.е. $A^{p-1}*A^{p-1}$ и $A^{p-1}$, поэтому минимум функции $|X*X-X|$ (расстояние по большому кругу) равен нулю и достигается на каком-то $B$

[Профессор Снэйп]

Да, теперь понял. Интересное решение, мне оно не было известно. И на конечный случай тоже естественным образом переносится.

Вот наиболее общая постановка проблемы: доказать, что компактная хаусдорфова полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, содержит идемпотент. Метризуемость не предполагается, так что Ваши трюки с достижимостью минимума расстояния между $A^2$ и $A$ уже не пройдут Да и непрерывность по обоим аргументам в Вашем решении, похоже, существенно используется.

P. S. Вроде бы это какое-то известное утверждение. По крайней мере, я в одной из статей видел на него ссылку. Доказывается не очень сложно, вполне годится на задачу Честно говоря, я ждал, что Вы его и будете доказывать

[Macavity]

Профессор Снэйп писал(а):

Вот наиболее общая постановка проблемы: доказать, что компактная хаусдорфова полугруппа с операцией, непрерывной по одному из аргументов, содержит идемпотент...

Всё это напоминает мне теорему Брауера...

[Профессор Снэйп]

Это которая вот эта?

Нет, тут, ИМХО, совсем другое

[Macavity]

Профессор Снэйп писал(а):

Это которая вот эта?

Да, о неподвижной точке...