Число Е как степенная зависимость

[BoBuk]

Цитата:

У BoBukа это делается же легко. Если у функции $f$ экстремум $e$

Немного поправлю.
У функции $f(x)=x^x$ экстремум равен $0.6922006$. А $\frac{1}{e}$ - это $x$-координата экстремума.
Кстати, экстремум не равен $ln(2)$.

[paha]

Garik2 в сообщении #348327 писал(а):

$\int \limits _{0}^{\infty }\! \frac {\sin ( x )}{x^2} -{\frac {\sin ( ax ) }{a x^2}} {dx}=\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {a-1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+ax \right) }}{dx} = ln(a) $

иетеграл вида

$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}=f(0)\ln{\frac{b}{a}}$$

называется, кажется, интегралом Фруллани (точно есть в демидовиче)

[Garik2]

Формулы Фруллани относятся к нахождению несобственных интегралов Римана. Есть три формулы Фруллани, и доказательства их верности достаточно простые - см. например, в
http://ru.wikipedia.org/wiki/Формулы_Фруллани
Скорее всего моя прога одну из таких формул отыскала.

[EtCetera]

Garik2

Garik2 в сообщении #348327 писал(а):

$\dots=\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {a-1}{ \left( 1+x \right) \left( 1+ax \right) }}{dx} = ln(a) $

$$\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{a-1}{\left(1+x\right)\left(1+ax\right)}\,dx=\int\limits_{0}^{\infty}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{1+ax}\right)\right)\,dx=\int\limits_{0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{1+x}-\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{a}{1+ax}\right)\right)\,dx=$$

$$=\int\limits_{0}^{\infty}\left(\dfrac{a}{1+ax}-\dfrac{1}{1+x}\right)\,dx=\left.\ln(1+ax)\right|\limits_0^{\infty}-\left.\ln(1+x)\right|\limits_0^{\infty}=\lim\limits_{x\to\infty}\ln\dfrac{1+ax}{1+x}=\ln a$$

[Garik2]

Я точно так же решал, но без второго и третьего интегралов. Они тут явно лишние.
Проблемы оказались с вычислением другого моего интеграла, где синусы. Решая неопределенные интегралы, выползли интегральные косинусы. Я с ними запутался. Не подскажете как грамотно выкрутиться из ситуации?

[arseniiv]

(Упс)

BoBuk в сообщении #348454 писал(а):

Немного поправлю.

Ой, и точно! Я хотел написать «в точке $e$», конечно.

[Garik2]

Итак:

$\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\sin \left( x \right) }{{x}^{2}}}-{\frac {\sin \left( ax \right) }{a{x}^{2}}}{dx}=\left [-{\frac {\sin \left( x \right) }{x}}+{\it Ci} \left( x \right) \right ] _0^{\infty}- \left [-{\frac {\sin \left( ax \right) }{ax}}+{\it Ci} \left( ax \right) \right ]_0^{\infty}$

Как дальше?
Может быть лучше разложить синусы под интегралом в ряды, упростить, почленно взять определенные интегралы и свернуть образовавшийся новый ряд?

[paha]

Garik2 в сообщении #348531 писал(а):

Итак:

так а в чем проблема? действуем как в википедии про формулы фруллани сказано

[Garik2]

Ясно. Спасибо за подсказку. Завтра быстро расправлюсь. А теперь - спать.

[Garik2]

Интеграл решил через ряды

$\int \limits _{0}^{\infty }\!\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n+1}{x}^{2\,n-1} \left( {a}^{2\,n}-1 \right) }{ \left( 2\,n+1 \right) !}}{dx} \,\,\, \to $

$\lim \limits _{x\rightarrow \infty } \left( \sum \limits _{n=1}^{\infty } \,{\frac { \left( -1 \right) ^{n+1}{x}^{2\,n} \left( {a}^{2\,n}-1 \right) }{2n \left( 2\,n+1 \right) !}} \right) =\ln \left( a \right) $

и как интеграл Фруллани:

$\int \limits _{0}^{\infty }\! \frac { {\frac {\sin \left( x \right) }{x}}-{\frac {\sin \left( ax \right) }{ax}} } {x}{dx}=\ln \left( a \right) $

Другой мой интеграл тоже вычисляем по формуле Фруллани:

$\int \limits _{0}^{\infty }\! \frac { {\frac {1}{1+x}}-{\frac {1}{1+ax}} } {x}{dx}=\ln \left( a \right) $

Вот ведь великий математик Фруллани! А про него даже ни слова в математической энциклопедии!

Еще раз спасибо за ценнейшую подсказку!

[AKM]

Garik2 в сообщении #348706 писал(а):

Интеграл решил через ряды

Я тоже претендую на ценнейшую подсказку.
Интегралы не решают. Там другие глаголы пользуют.
Просто раз уж Вы так увлечены интегралами, эту азу следовало бы знать.
Поправлять студиозусов мы уже устали и перестали. ewert ещё пытается (см. подпись)...

[Garik2]

Да, да, вы правы. Того лишь Бог не покарал, кто брал без спроса интеграл.

Кто подскажет - какие еще есть интегралы, которые приводятся к формулам Фруллани? Я имею в виду конкретные примеры. Пробовал всякие варианты, но ln(a) не получается.