2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение28.08.2010, 12:44 


24/01/08

333
Череповец
2 Garik2

Вам непгеменно надо заинтересоваться полистепенными функциями. :D
Нет, я вполне серьёзно. В Вас столько энергии...

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение28.08.2010, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
а оберните ряд для $\ln 2$... получите реккурентную формулу)

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение28.08.2010, 17:38 


15/10/09
1344
Может быть и не в тему, но позволю себе маленький комментарий. Неким чудесным образом число $e$ появляется в самых неожиданных местах. Вот пример. В своих лекциях по управлению рисками - слушатели банкиры и/или топ-менеджеры компаний - чтобы напомнить число $e$, я задаю следующую устную задачу.

Задача 1. У вас на руках акция, котировка которой растет каждый день на 1%. На сколько процентов вырастет эта акция за 100 дней.

Обычно кто-то ляпнет 100%, кто-то начинает считать. Разумеется, слушатели, когда-то закончившие, например, мехмат или физтех, бодро говорят правильный ответ 172% (если помнят второй замечательный предел).

А при пояснении нематематикам деталей, связанных с леммой Ито (без упоминания самой леммы), даю задачу.

Задача 2. У вас на руках акция, котировка которой по четным дням растет на 1%, а по нечетным - падает на 1%. На сколько процентов изменится цена этой акции за 100 дней. Разумеется, здесь опять вылезает $e$, и школьная формула $(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение28.08.2010, 23:10 
Заблокирован


17/03/10

139
Немного философствований и физики (в последней математикам следует обратить следствия) о числах $\pi, e$ в контексте однородности и анизотропности пространства - времени. http://www.arbuz.uz/t_e_pi.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 02:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Пройдясь по всем литературным источникам и добавив свои исследования, я получил довольно интересное эссе по поводу числа $e$:

Число $e$ может быть определено несколькими способами.

* Через пределы:

$e = \lim \limits _{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ (второй замечательный предел).

$e = \lim \limits _{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$.

* Как сумма ряда:

$ e = \sum \limits _{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} \, $

* Как реккурентные формулы:

a) $ e = a(\infty) \, $ , если $ \,\, a(0)=1 \,; \,\, a(n)=a(n-1) + \frac {1}{n!} \,  $ ;

b) $ e = x_{\infty} \, \,  $ если $ \,\,  x_1\ge e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\approx 1.85528 \,\,; \, \,  x_{n+1}=\frac{x_n}{\ln{x_n}}   $

* Как произведение:

$ e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { (2n-1)(n+1)}{(2n+1)n}}\right)}^{2\,n} \right ]$

* Как представление Каталана:

$e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots \, $

* Как степенная зависимость:

$e = 2^{ \left( \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}}{n+1}} \right) ^{-1}} \, $

* Как бесконечная цепная дробь

$e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots] \, $

* Как единственное число $a$, для которого выполняется

$ \int\limits_{1}^{a} \frac{dt}{t} = 1. \, $

* Как единственное положительное число $a$, для которого верно

$\frac d {dt} a^t = a^t . \,$

Будут ли какие-либо замечания, исправления, дополнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 05:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Еще одна формула, которой меня удивила программа (расширенная до интегральных представлений):

$e={c}^{ \left( \int  \limits _{ 0}^{\infty }\!{\frac {c- 1}{ \left(  1+x \right)  \left(  1+cx \right) }}{dx} \right) ^{-1}} \,\,\, $ , где $  c>1  \, $

Можете убедиться:

c:=2:e:=evalf(c^(Int((c-1)/(1+x)/(1+c*x),x=0..infinity)^(-1)));

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 07:58 


14/11/08
73
Москва
Не хотите добавить в эссе вероятностные "определения"?
См. задачу о письмах, о днях рождения и проч., шире - ЦПТ... При желании им можно придать форму вычисления некоторых пределов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 09:44 


24/01/08

333
Череповец
Ещё добавлю ко всему.

Экстремум функции $f(x)=x^\frac{1}{x}$

Или, что то же $f(x)=x^x$ для $\frac{1}{E}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 17:51 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Nik_Nikols и BoBuk!
Нельзя ли прямо здесь показать ваши находки на строгом математическом языке? Возможно, это обогатит эссе об одной из самых замечательных констант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 19:12 


24/01/08

333
Череповец
Garik2 в сообщении #348170 писал(а):
Nik_Nikols и BoBuk!
Нельзя ли прямо здесь показать ваши находки на строгом математическом языке? Возможно, это обогатит эссе об одной из самых замечательных констант.

На строгом, вряд ли. :-) Как умеем.
Вы давно на форуме. Вроде бы видели мою тему. http://dxdy.ru/topic31952.html
В полистепенных прямой связи константы $e$ с константой $\pi$ я не обнаружил. А так много интересного. Всплывают числа, близкие к $\pi$, но "близкие", это понятие не математическое. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 19:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Нет, такие вольности я не приемлю. Люблю только красивые математические связи но в классическом виде. Такое находить чрезвычайно трудно, так как в данной области работали талантливые и величайшие математики. Зато какой кайф я испытывал, решив полностью задачу о четырех кубах! http://renuar911.narod.ru/4cub.mht

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение29.08.2010, 20:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Garik2 в сообщении #348170 писал(а):
Нельзя ли прямо здесь показать ваши находки на строгом математическом языке?
У BoBukа это делается же легко. Если у функции $f$ экстремум $e$, то (как правило; не помню особых случаев) верно $f'(e) = f'(x)|_e = 0$. :roll: Т. е. если дифференцировать не будем (чтобы видно было саму функцию), получим $\left(x^{1/x}\right)'|_e = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение30.08.2010, 05:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Да, коллеги! Математика неисчерпаема и выдает такие перлы, что дух захватывает! Вот получил неожиданно связь между $e$ и $ \frac {\pi}{2}$ :

$e = \frac { \frac {\pi }{2}}{ \int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x\sin \left( x \right) }{{x}^{2}+1}}{dx}} \, = \, 2.718281829 $

В системе Maple:

e:=Pi/2/Int(x*sin(x)/(x^2+1),x=0..infinity)=evalf(Pi/2/Int(x*sin(x)/(x^2+1),x=0..infinity),30);

e = 2.71828182845904523536028747136

Ну разве не обыкновенное чудо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение30.08.2010, 08:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Еще в мою коллекцию:

$e={a}^{ \left [ \int \limits _{0}^{\infty }\!  \frac { \sin \left( x \right) -{\frac {1}{a} \sin \left( ax \right) }}{x^2}{dx} \right] ^{-1}}$

где $a>=2$


a:=3;e:=a^((Int((sin(x)-sin(a*x)/a)/x^2,x=0..infinity))^(-1))=evalf(a^((int((sin(x)-sin(a*x)/a)/x^2,x=0..infinity))^(-1)),30);

e=2.71828182845904523536028747136

Вот графики подинтегральных функций :
Изображение

Визуально видно - площади фигур практически равны. Но конфигурации совсем разные

При других коэффициентах такие графики (площади также равны):
Изображение

Математика - это потрясающее разнообразие!

 Профиль  
                  
 
 Re: Число Е как степенная зависимость
Сообщение30.08.2010, 10:12 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Графики оказались верными. Площади для случая $a = c = 3$ равны примерно 1,1 и следовательно, $e \to 3^{ \frac {1}{1.1}} = 2.714854727$
Для второго графика при $a = c = 15$ : площади равны примерно 2,7; поэтому
$e \to 15^{\frac {1}{2.7}} = 2.726398632$

Площади находил так: скопировал графики на клетчатую бумагу в максимально возможном масштабе, подсчитал количество клеточек и определил S с ошибкой не более 0,1.
Когда в Maple взял определенные интегралы, то получил соответственно:
a:=3;S:=evalf(int( \frac {1}{x^2}(sin(x)-1/a*sin(a*x)),x=0..infinity)); S = 1.098612289
и
c:=3; evalf(int((c-1)/(1+x)/(1+c*x),x=0..infinity)); S = 1.098612289

Для второго графика S = 2.708050201

Интересно бы доказать и понять тождество:

$\int \limits _{0}^{\infty }\!  \frac {\sin ( x )}{x^2} -{\frac {\sin ( ax ) }{a x^2}}  {dx}=\int \limits  _{0}^{\infty }\!{\frac {a-1}{ \left( 1+x \right)  \left( 1+ax \right) }}{dx}  =  ln(a) $

Ну как, тэйлороведы, слабО?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group