Число Е через бесконечное произведение

[arseniiv]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 1%80%D1%8B

Почитайте внимательно особенно раздел «Нумерологические формулы».

-- Чт авг 26, 2010 21:05:40 --

arseniiv в сообщении #347445 писал(а):

Garik2 в сообщении #347281 писал(а):

Как вообще создаются реккурентные формулы?

Попробуйте найти функцию, чтобы $f(e) = e$. Тогда, если функция вышла "хорошая", она для определённых чисел будет давать последовательность, сходящуюся как раз к $e$. Точных критериев вот не знаю. Ну и, конечно, в выражении для $f(x)$ не должно быть $e$, а то полученная рекуррентная формула будет бессмысленной.

Не будете искать $f$?

-- Чт авг 26, 2010 21:18:22 --

Кстати, в рекуррентную формулу можно преобразовать $e = 1 + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \frac 1{3!} + \dots$: $e_0 = 1,\ e_n = e_{n-1} + \frac 1{n!}$, только такое никому не надо.

-- Чт авг 26, 2010 21:27:11 --

Пример. Если взять $f(x) = x \ln x$, то $e$, хоть и является неподвижной точкой, не получить итерацией $f$: $x \ne e \Leftrightarrow \left|x_{n+1} - e\right| > \left|x_n - e\right|$. Надо искать $f$ другую.

[arseniiv]

Вот каким условиям должна удовлетворять функция (если $f(e) = e$), чтобы, итерируя её, получить $e$: на каком-нибудь промежутке, симметричном относительно $e$ (или вообще на всём $\mathbb R$) в левой части выполнялось $x < f(x) < 2e-x$, а в правой $2e-x < f(x) < x$.

[paha]

arseniiv в сообщении #347496 писал(а):

Вот каким условиям должна удовлетворять функция (если $f(e) = e$), чтобы, итерируя её, получить $e$: на каком-нибудь промежутке, симметричном относительно $e$ (или вообще на всём $\mathbb R$) в левой части выполнялось $x < f(x) < 2e-x$, а в правой $2e-x < f(x) < x$.

может быть, просто $|f'(e)|\le 1$?
Это условие можно переписать и для функций, недифференцируемых в $x=e$.

-- Сб авг 28, 2010 15:30:54 --

что, кажется, и имел ввиду arseniiv

-- Сб авг 28, 2010 15:45:39 --

например, реккурентная последовательность

$$ x_{n+1}=\frac{x_n}{\ln{x_n}} $$

сходится к $e$, если $x_1\ge e^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\approx 1.85528$

-- Сб авг 28, 2010 15:47:29 --

вот последовательность рациональных чисел бы найти... такая явно не из $f(e)=e$ получается

[iig]

arseniiv в сообщении #346308 писал(а):

Padawan в сообщении #346191 писал(а):

Что такое вообще физическая константа?

Может быть, константа, которую в данный момент нельзя вывести с помощью математической модели, используемой в теории? Я плохо понимаю, но то, что $\alpha$ — не математическая константа, почему-то понимаю. Думаю, есть определение более точное и лучшее, но я его не знаю, а безразмерных констант в физике пруд пруди, однако никто их все математическими не называет.

Думаю, тут вы немного не правы.
Например, отношение массы протона к электрону, несомненно, сейчас известно только из эксперимента, но это до тех пор, пока не будет Единой теории поля, их описывающей с учетом нейтринного поля, но не самих нейтрино - фотоны тоже странно выглядят на фоне непрерывного ЭМ поля. Другое дело, что эти поля квантованно взаимодействуют с частицами в зависимости от их частоты, которая называется энергией фотона.
Физики настолько заквантовались, что даже придумали фонон для взаимодеиствия звука в твердом теле и еще чего-то внутри ядер (глюоны - обмен порциями в сильно нелинейном поле ядра).
Нейтринное поле участвует в слабых взаимодействиях, массу, как и фотон иметь не может, но энергию и спин переносит, (не могу пока утверждать, интуиция).
Кварки на самом деле - свойства структуры частиц,
очень неплохо их классифиципуют, но пытаться выделять их как частицы фантазийно, типа поймать кошачью улыбку.
Вот такие вам подарки от меня к Новому году!

-- 28 дек 2010, 00:16 --

Garik2 в сообщении #346367 писал(а):

Да.... Хорошо бы чисто математически выявить гравитационную постоянную G. Вот это было бы открытие тесячелетия

Я думаю, что это связано с размером и кривизной Вселенной - такие же порядки отношений к размерам частиц и космоса и гравитации к ядерным взаимодействиям.
Так что, возможно изменение гравитационной постоянной по мере расширения Вселенной - на ранних этапах они могли быть сравнимы.
Кстати, кроме уравнений Эйнштейна есть много других теорий, не различающихся пока экспериментально.

Тредер Г.-Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. М. Атомиздат, 1973.
- в конце довольно абстрактная классификация теорий.

[Portnov]

>> Хорошо бы чисто математически выявить гравитационную постоянную G

Хе, а то, что она размерная — вас не смущает? :)

[arseniiv]

(Оффтоп)

iig, ваши махинации моё сообщение не исправят. Я останусь на том, что сказал.

iig в сообщении #392602 писал(а):

Вот такие вам подарки от меня к Новому году!

Да от вас весь год одно и то же, и все комментарии вам ни по чём.

[ex-math]

Лет десять назад получил представление

$$ e^z=\prod_{n=1\atop2\nmid n}^{\infty}\frac{1-a_nz^n}{1+a_nz^n}, $$

где $a_1=-\frac12$, а при $n=3,5,7,\dots$

$$ a_n=-\sum_{k\mid n\atop k<n}\frac kna_{k}^{\frac nk}. $$

Произведение сходится абсолютно в круге $|z|<2$ и равномерно в круге $|z|\leqslant2-\varepsilon$. Отличительная особенность этого представления в том, что частичные произведения обладают характерными свойствами экспоненты, а именно $P_n(-z)=1/P_n(z)$ и $|P_n(i\varphi)|=1$ при вещественном $\varphi$. Ну и для числа $e$ получается очередное произведение, если взять $z=1$.