Лемма о неподвижной точке.

[ewert]

hurtsy в сообщении #343371 писал(а):

RIP в сообщении #58990 писал(а):

Пусть , $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$

Неубывание выглядит как то так $ f(x)\geq f(a)$.
В точке $b$ для функции $f(x)>x$ нарушается краевое условие $f(b)<b$.
Это, конечно, занудство. Я согласен с доказательством, но не согласен с описанием $A$.

С чем именно в описании? Со строгостью неравенства? Ну можно и нестрогое поставить ($A=\{x\in[a;b]\mid f(x)\geqslant x\}$), доказательство от этого ровно никак не изменится. Единственная неприятность, связанная со строгостью неравенства -- это что множество $A$ может, в принципе, оказаться пустым, а это лишние слова. Правда, такая ситуация запрещается требованием $f(a)>a$, но это требование в условии леммы явно избыточно.

[hurtsy]

ewert в сообщении #343417 писал(а):

С чем именно в описании? Со строгостью неравенства?

Как я боюсь возражать Вам.
Нет, не строгость неравенства. Попробую описать, как смогу.

$A=\{x\in[a;b], x_1\in(a,b] \mid x_1>x , f(x_1)\geqslant f(x) \} $
И ещё я писал про противоречие в точке $b$. С уважением,

[CowboyHugges]

hurtsy в сообщении #343430 писал(а):

И ещё я писал про противоречие в точке $b$

А какое там противоречие? Ну не входит точка $b$ в множество $A$ и бог с ней.

[ewert]

hurtsy в сообщении #343430 писал(а):

$A=\{x\in[a;b], x_1\in(a,b] \mid x_1>x , f(x_1)\geqslant f(x) \} $

Ну т.е. множество пар, да? А зачем?... Мн-ва RIP'а вполне достаточно для вполне очевидного док-ва.

Видите ли, RIP предложил очень простое мн-во и заявил, что его супремум и будет неподвижной точкой. Не доказав этого формально, правда. А не доказав только потому, что уж если эта точка предложена, то доказательство её неподвижности -- очевидным образом напрашивается.

(про противоречие я тоже не понял -- что, когда и зачем)

[hurtsy]

ewert в сообщении #343435 писал(а):

Ну т.е. множество пар, да? А зачем?...

Мне кажется таково множество в исходной задаче. Если множество RIP'а непусто и входит в вышеупомянутое множество исходной задачи, т.е. под Ваше чесное слово, все в порядке.
Противоречие $f(x)>x$ для $x\in[a,b] $ в точке $b$ имеет вид $f(b)>b$.
А краевое условие в исходной задаче $f(b)<b$ , и это не формализм, и даже может не быть занудством. С уважением,

[ewert]

hurtsy в сообщении #343441 писал(а):

Мне кажется таково множество в исходной задаче.

В исходной задаче вообще никаких множеств нет. Мы те множества сами под себя сочиняем, исключительно под наши потребности. Желая при этом, конечно, чтоб возникающие конструкции были как можно экономнее для доказательства.

hurtsy в сообщении #343441 писал(а):

Если множество RIP'а непусто и входит в вышеупомянутое множество исходной задачи,

Оно не может входить в Ваше, принципиально не может: у вас -- мн-во пар, у него -- просто элементов.

Вы издеваетесь, да?...

[hurtsy]

ewert в сообщении #343443 писал(а):

Оно не может входить в Ваше, принципиально не может: у вас -- мн-во пар, у него -- просто элементов.

Вы издеваетесь, да?...

Нет. Ни в коем случае. Множества я никому не предлагал. Я хотел вернуться к задаче топик- стартера.
Задача топик-стартера и задача решенная RIP это две разные задачи. С уважением.

[ewert]

hurtsy в сообщении #343450 писал(а):

Задача топик-стартера и задача решенная RIP это две разные задачи.

Нет, RIP ровно эту задачу и решил, один к одному. В своё время. Другое дело, что через несколько лет волею модераторов сюда была вклинена несколько другая задача. Хотя и родственная. И решаемая идеологически так же. Но это уж -- совершенно другой вопрос.

[hurtsy]

ewert в сообщении #343471 писал(а):

Нет, RIP ровно эту задачу и решил, один к одному. В своё время.

Пусть $f(x)=x+1$, в точке $a$ выполняется $a<f(a) $. В точке $b$ определим $f(b)=a $ это удовлетворяет условию $f(b)<b$. В правой точке разрыв. $x_0=\sup A=b$ но $f(x_0)\ne x_0$ . Причина - разрыв в точке $b$. Не зря shwedka в, свое время, требовала доказательства. С уважением,

[CowboyHugges]

hurtsy, посмотрите условие внимательней: функция должна быть неубывающая, в Вашем примере это не выполнено.

[hurtsy]

CowboyHugges в сообщении #344171 писал(а):

hurtsy, посмотрите условие внимательней: функция должна быть неубывающая, в Вашем примере это не выполнено.

Спасибо,CowboyHugges. Меня смущает, очевидное следствие из неубывания функции, $\max A = \sup A$. Какой смысл в задаче имеющей гарантировано "неподвижную точку" в точке $b$? Какой физический смысл задачи? С уважением.

[CowboyHugges]

hurtsy в сообщении #344189 писал(а):

Меня смущает, очевидное следствие из неубывания функции, $\max A = \sup A$.

Это откуда такое следствие, если $A$ вообще говоря открытое множество.

hurtsy в сообщении #344189 писал(а):

Какой смысл в задаче имеющей гарантировано "неподвижную точку" в точке $b$?

С чего бы это, $b$ так раз точно не неподвижная точка ибо $f(b)<b$

hurtsy в сообщении #344189 писал(а):

Какой физический смысл задачи

А какой может быть физический смысл во вспомогательной лемме :)

[hurtsy]

CowboyHugges в сообщении #344222 писал(а):

если $A$ вообще говоря открытое множество.

В таком случае укажите предельную точку $A$ не принадлежащую $A$.

CowboyHugges в сообщении #344222 писал(а):

$b$ так раз точно не неподвижная точка ибо $f(b)<b$

Но, при всё при том $f(x)>x$ для $x\in [a,b]$. С уважением.

[ewert]

hurtsy в сообщении #344256 писал(а):

В таком случае укажите предельную точку $A$ не принадлежащую $A$.

В частности, $\sup A$. Для неубывающих функций он никогда не достигается. Можете рассматривать это как простенькую задачку (хоть для доказательства леммы она, в общем, и не нужна).

hurtsy в сообщении #344256 писал(а):

Но, при всё при том $f(x)>x$ для $x\in [a,b]$.

Кто это сказал и для какой конкретно функции?...

CowboyHugges в сообщении #344222 писал(а):

$A$ вообще говоря открытое множество.

Только не "вообще говоря", а "в типичных ситуациях" (и, конечно, если выкинуть точку $a$).

[hurtsy]

ewert в сообщении #344295 писал(а):

Кто это сказал и для какой конкретно функции?...

RIP в сообщении #58990 писал(а):

Пусть $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$, $x_0=\sup A$. Тогда $f(x_0)=x_0$.

Краевые условия в топик-стартере. С уважением.