Пусть ,
![$A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$ $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)>x\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/0/230b44420d577ac41b731d5f5ba70b8e82.png)
Неубывание выглядит как то так

.
В точке

для функции

нарушается краевое условие

.
Это, конечно, занудство. Я согласен с доказательством, но не согласен с описанием

.
С чем именно в описании? Со строгостью неравенства? Ну можно и нестрогое поставить (
![$A=\{x\in[a;b]\mid f(x)\geqslant x\}$ $A=\{x\in[a;b]\mid f(x)\geqslant x\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/8/478809b84865192a96abf35fa2a6bba782.png)
), доказательство от этого ровно никак не изменится. Единственная неприятность, связанная со строгостью неравенства -- это что множество

может, в принципе, оказаться пустым, а это лишние слова. Правда, такая ситуация запрещается требованием

, но это требование в условии леммы явно избыточно.