разложение ПВ по ортогональным полиномам.

[trqwert]

Добрый день. Столкнулся с вот такой вот задачкой из мат. статистики.
При преобразовании ПВ случайной величины получилось, что-то подобное (ну в самом общем виде):
$w_\phi(x)=a \cos(x) e^{(a \cos(x))^2} erf(a \cos(x)),$ $x\in [x_1,x_2]$.
Ну и увы ни функцию распределения, ни моментные (любых порядков), я подсчитать увы аналитически не могу (увы перерыл достаточно справочников и уже замучил Wolfram Mathematica)... хотя может это мои косяки и Вы мне подскажете.
Почему-то кажется, что можно воспользоваться разложением по ортогональным полиномам (например Лежандра или Эрмита), и всё же попытаться получить моментные функции.

Подскажите какие из них будут более удобны, ведь для просчёта моментов мне придётся всё это дело ещё умножать на аргумент косинуса и тогда получается полный зоопарк функций. Что тут можно сделать?

[GAA]

Иногда, зная исходную постановку задачи, легче найти решение. Не могли бы Вы привести условие задачи, при решении которой получена приведенная Вами плотность.

[trqwert]

Добрый день, кажется я немного справился, но возникли проблемы. Не могли бы вы просмотреть на корректность преобразований получаемое решение.
Я воспользовался равенством (Абрамовиц, Стиган):
$\text{erf}(a \cos (x))=\frac{2 a \cos (x) _1F_1\left(1;\frac{3}{2};(a \cos (x))^2\right) \exp^{-(a \cos (x))^2}}{\sqrt{\pi }}$, где $_1F_1\left(1;\frac{3}{2};(a \cos (x))^2\right)}$ - вырожденная гипергеометрическая функция.
Тогда выражение $w_\phi(x)$ приобретает вид:
$w_\phi(x)=\frac{2 (a \cos (x))^2 _1F_1\left(1;\frac{3}{2};(a \cos (x))^2\right)}{\sqrt{\pi }}$
Далее я воспользовался интегральным представлением для $_1F_1\left(1;\frac{3}{2};(a \cos (x))^2\right)}$(Абрамовиц, Стиган):
$M\left(a;b;z\right)}=\frac{\Gamma (b) }{\Gamma (a) \Gamma (b-a)}\int _0^1t^{a-1} e^{t z} (1-t)^{-a+b-1}dt$
И получил:
$w_\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}a^2\cos ^2(x)\int _0^1 \frac{e^{t a^2\cos ^2(x)} }{\sqrt{1-t}}dt$
После этого раскрыл квадрат косинуса в экспоненте через двойной аргумент и получившуюся экспоненту косинуса двойного аргумента разложил в ряд Фурье с коэффициентами выраженными через модифицированные функции Бесселя (учебник по ММФ и учебник по стат. радиофизике, например, Тихонов):
$e^{t a^2\cos ^2(x)}=e^{\frac{t a^2}{2}}e^{\frac{t a^2}{2}\cos (2x)}=e^{\frac{t a^2}{2}}\left(I_0\left(\frac{t a^2}{2}\right)+2 \sum _{n=1}^{\infty } I_n\left(\frac{t a^2}{2}\right)\cos (2 n x) \right)$
После чего получил
$w_\phi(x)=\frac{a^2\cos ^2(x)}{\sqrt{\pi}}\left( \frac{\sqrt{\pi } \text{erfi}(a)}{a}+2 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{\pi } 4^{-n} \left(a^2\right)^n \, _2F_2\left(n+\frac{1}{2},n+1;n+\frac{3}{2},2 n+1;a^2\right)}{\Gamma \left(n+\frac{3}{2}\right)}\cos (2 n x)\right) $
Вроде после этого серьёзных проблем с вычислением интегрально функции распределения нет. Нужно только взять интеграл вида:
$F( z)=\int_0^z w_{\varphi }(x) \, dx$
И теперь от угла там зависимость достаточно простая и всё уже интегрируется хорошо.
Интеграл беру от нуля, а не от минус бесконечности, т.к. у меня плотность определена на интервале от $0$ до $\frac{\pi}{2}$
Я сравнивал своё решение и "стандартное" (полученное численным интегрированием исходной плотности вероятности, например в Wolfram Mathematica) и вот какая оказия, решения сходятся неплохо для малых значений параметра $a$ (около единицы и менее), для больших (более 2-3) они очень сильно различаются При этом увеличение числа членов ряда ни к чему хорошему не приводит, т.к. "нулевое" слагаемое значительно больше (особенно при больших значениях параметра), чем сумма оставшегося ряд.
С чем это может быть связано? Нет ли у меня в выкладках очевиднейшей (для математика) ошибки. И если нет, то что можно сделать для получения "более адекватного" решения?

[GAA]

Я дошел до приведенной Вами формулы

Цитата:

$e^{t a^2\cos ^2(x)}=e^{\frac{t a^2}{2}}e^{\frac{t a^2}{2}\cos (2x)}=e^{\frac{t a^2}{2}}\left(I_0\left(\frac{t a^2}{2}\right)+2 \sum _{n=1}^{\infty } I_n\left(\frac{t a^2}{2}\right)\cos (2 n x) \right)$

Включая эту формулу «мои» выкладки совпадают с Вашими. Дальше просто выполнил численно почленное интегрирование для $n = 0 \ldots N$. В таблице приведены результаты вычисления плотности по формуле $w = a \cos x e^{(a \cos x)^2} \mathop{\mathrm{erf}(a\cos x)}$ (этот столбец помечен символом $\infty$) и при численном вычислении частичной суммы ряда, для $x = 0$ и двух значениях параметра $a$.

\begin{array}{||c || c | c | c | с |} \hline N & \infty & 1 & 3 & 5 \\ \hline a = 1 & 2.290698 & 2.227321 & 2.290449 & 2.290698 \\ \hline a = 3 & 24308.7 & 13394.5 & 22195.1 & 24077.7 \\ \hline \end{array}

Как Вы и писали, при $a=1$ последовательность частичных сумм довольно быстро сходится к соответствующему значению плотности, а при $a=3$ — нет.

Точно задачу Вы не сформулировали, не написали, откуда взялась предлагаемая плотность. Поэтому не известно над чем ломать голову.

[trqwert]

Добрый день.
Может быть кто-то сможет помочь разобраться со следующим вопросом.
Есть следующая функция распределения вероятности:
$w_\phi(x)=e^{b ^2}+a \cos(x-x_0) e^{(a \cos(x-x_0))^2} erf(a \cos(x-x_0))+\\+a \cos(x+x_0) e^{(a \cos(x+x_0))^2} erf(a \cos(x+x_0))$
(отдельное спасибо GAA, за помощь, когда возникла проблема разложения её в ряд :)!!!).
Так вот необходимо различными способами (для различных критериев) получить оценку величины $x$.
Наиболее интересными является МП оценка. Однако, как я понимаю ПРВ не принадлежит к "экспоненциальному семейству", т.е. её может вообще не существовать? Я правильно понимаю?
А так же возникает вопрос, можно ли при данной ПРВ найти гриницу Рао-Крамера? (исходя из того, что я видел в учебниках и всего выше сказанного - нет, но так ли это?).
С другой стороны, граница Рао-Крамера не единственная и не лучшая граница минимума дисперсии оценки. Есть ещё границы Чернова, Баранкина, Бхаттачария (это то, что я нашёл в литературе). Но вот работают ли они для такого вида распределения? В любом случае посоветуйте, пожалуйста, литературу по данным границам (желательно с практическими примерами, а то как-то уж мало информации я нашёл).

[GAA]

Близкие темы соединены (учитывалось создание близкой темы в «ПРР (М)»).

Возможно, допущена опечатка: $x$ — аргумент плотности и он не подлежит статистическому оцениванию. Уточните, пожалуйста, задачу.