Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.

[Delvistar]

Delvistar в сообщении #341433 писал(а):

А каким будет количество пар проколотых (не проколотых) на одном повторении для общего случая (прокалывание числом )? Методом подсчета это количество не получить.

Количество проколотых $\frac{2}{p}$, а количество не проколотых $\frac{p-2}{p}$

r-aax в сообщении #341449 писал(а):

Что такое шаг прокалывания? Это ?

Так как мы работаем с решетом на котором расположены только нечётные числа(упрощения не влияет на ход рассмотрения), поэтому, среди чисел делящихся на 5, мы прокалываем:
$5-15-25-35-...\infty$
И поэтому шаг прокалывания у нас равен $p \times 2$

[r-aax]

Delvistar в сообщении #341458 писал(а):

Количество проколотых $\frac{2}{p}$, а количество не проколотых $\frac{p-2}{p}$

Количество потенциально простых пар на каждом повторе - $p$, и из них мы прокалываем $2$. Я правильно понимаю?

-- Чт июл 29, 2010 17:22:08 --

P.S. (левую) границу первого повтора мы берем не с $0$, а с $p$?

[Delvistar]

r-aax в сообщении #341461 писал(а):

Количество потенциально простых пар на каждом повторе - , и из них мы прокалываем . Я правильно понимаю?

Попробую Вам показать на примере с конечным начальным количеством.(У нас же начальное множество бесконечное!")

Так вот, к примеру начальное количество у нас 1000.(Это не чётных чисел на решете, а так длина решета от 0 до 2000)

Делаем прокалывание чисел.

1. мы из каждых 5 чисел, прокалываем 2.
Это будет 400 проколотых чисел, и осталось 600.
2. Далее из каждых 7 не проколотых ранее чисел прокалываем 2.
Это будет проколотых примерно 171. А не проколотых примерно 429.


Вот таким образом у нас идёт прокалывание. Такой темп прокалывания $\frac{2}{p}$.

И это ещё можно выразить так, что $\frac{2}{p}$ от оставшегося множества, после предыдущего прокалывания.

Если точно, то левая граница и не с $0$ и не с $p$ а с $p^{2}$, так как при прокалывании, к примеру чисел делящихся на $9973$, мы только с $9973^{2} = 99 460 729$ начинаем прокалывание новых чисел. До, этого мы ничего не прокалываем нового.

[venco]

Я тут переформулировал то, что нам пытается донести Delvistar, более строгим языком.

Обозначения:
$p_k$ - $k$-тое простое число. $p_1=2$.
$p_k\#$ - праймориал - произведение первых $k$ простых чисел.

Обозначим $T_k(n)$ число пар натуральных чисел $(x,x+2)$, $x<n$, взаимно простых с $p_k\#$.
Тогда по индукции можно доказать, что при $k\ge 2$:
$T_k(p_k\#) = \prod\limits_{i=2}^k{(p_i-2)}$.

Всё.
Про бесконечность простых близнецов я никакого заключения сделать не смог.

Вот если бы можно было доказать, что $T_k(p_k^2)$ неограниченно растёт, то это было бы доказательством бесконечности простых близнецов.

[Delvistar]

(Оффтоп)

venco в сообщении #341483 писал(а):

Я тут переформулировал то, что нам пытается донести Delvistar, более строгим языком.

А я и не отрицаю тот факт, что у меня проблемы с строго математическими формулировками. Но, искренне пытаюсь донести свою мысль .

А мой взгляд, на бесконечность близнецов,как мне кажется, выстроен на другом подходе..

[r-aax]

Delvistar в сообщении #340687 писал(а):

После этого, мы прокалываем решето числом $7 (N_{1})$. И, от того что, величина шага прокалывания увеличилась от прежней в $\frac{N_{1}}{N_{0}}$ раз,то, и если бы мы в этот раз не прокололи ни одну пару, то величина перешагивания была бы:



$X_{0} \times \frac{N_{1}}{N_{0}} = Z_{1}$

Не согласен.
Величина перешагивания зависит не только от шага прокалывания, но еще и от длины повтора.

[Delvistar]

r-aax в сообщении #341492 писал(а):

Величина перешагивания зависит не только от шага прокалывания, но еще и от длины повтора.

Скажите пожалуйста, а что Вы вкладываете в понятие "длина повтора".? Если мои повторения, типа:
$0-30.30-60,...\infty$
То они второстепенны. Как мне кажется.

Вы рассматривали мои допущения(теоретические, так как практически они не возможны) о том, что не будет проколота ни одна пара. Но здесь на эту величину перешагивания влияет только увеличение длины шага прокалывания. Насколько она увеличилась, по сравнению с прежним шагом.
А так как, мы прокалываем новые пары, то на величину перешагивания, влияет количество убранных пар на одном повторе. Сколько пар останется на одном повторе.

[r-aax]

Delvistar в сообщении #341501 писал(а):

r-aax в сообщении #341492 писал(а):

Величина перешагивания зависит не только от шага прокалывания, но еще и от длины повтора.

Скажите пожалуйста, а что Вы вкладываете в понятие "длина повтора".? Если мои повторения, типа:
$0-30.30-60,...\infty$
То они второстепенны. Как мне кажется.

Вы рассматривали мои допущения(теоретические, так как практически они не возможны) о том, что не будет проколота ни одна пара. Но здесь на эту величину перешагивания влияет только увеличение длины шага прокалывания. Насколько она увеличилась, по сравнению с прежним шагом.
А так как, мы прокалываем новые пары, то на величину перешагивания, влияет количество убранных пар на одном повторе. Сколько пар останется на одном повторе.

Я оперирую только Вашими понятиями. Если я их понял как-то не так, то приведите четкие определения.

Длина повтора - длина таких интервалов, на которых повторяется какой-то там "рисунок" прокалывания. Мы сошлись на том, что длина повтора это $\prod\limits_{i=0}^k{p_i}$, где $p_k$ - текущее простое, которым прокалываем, $p_0 = 2$.
Шаг прокалывания - $p_k \times 2$.
Количество пар на повторе - $p_k$ (из них $2$ проколятся, $p_k - 2$ останутся).
Число шагов прокалывания - это длина повтора, деленая на шаг прокалывания, $\prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}$, $p_1 = 3$.
Средняя величина перешагивания - количество непроколотых пар, деленое на число шагов прокалывания, $\frac{p_k - 2}{\prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}}$.

Увеличение шага прокалывания может произойти только в одном случае - в случае прокалывания следующим простым числом $p_{k + 1}$. Вот подставляйте честно его в формулу и смотрите, как изменяется средняя величина перешагивания.

-- Пт июл 30, 2010 09:13:53 --

Delvistar в сообщении #341501 писал(а):

Но здесь на эту величину перешагивания влияет только увеличение длины шага прокалывания.

Это так. Неверно то, что оно влияет на нее линейно.

[Delvistar]

r-aax в сообщении #341569 писал(а):

Количество пар на повторе - (из них проколятся, останутся).

Вы всё поняли правильно, но вот только с одним проблема, это с количеством пар на повторе.

Мне кажется, что Вы не поняли, да и я наверное не достаточно чётко объяснил.

Вот смотрим как это происходит. Покажу в основном на словах.

Вот мы имеем повторы после прокалывания чисел делящихся на 5 (естественно, перед этим мы уже прокололи числа делящиеся на 3):

$0-30,30-60,...\infty$

И с учётом нашей коррекции повторов, для точности подсчёта пар:

$0-31,32-61,...\infty$

Мы на каждом повторе, имеем по три пары.

Далее, мы включаем прокалывание чисел делящихся на 7, и теперь наши узоры математические на натуральном ряду, приобретают иной вид, с повторами равными:

$30 \times 7 = 210$

$30$ - длина предыдущего повтора.
$7$ - число нового прокалывания.

И, вначале, автоматически, число пар увеличиваем в 7 раз, и получаем 21.

Но, так как мы прокалывали числом 7, то теперь прокалывания пар будет
$\frac{\frac{2}{7}}{21} = 15$

Вот таким образом мы видим процесс прокалывания пар.
Кстати, процесс прокалывания чисел-одиночек уже такой $\frac{1}{n}$

[r-aax]

Исправим...

Длина повтора - длина таких интервалов, на которых повторяется "рисунок" прокалывания. Мы сошлись на том, что длина повтора это $PeriodLen(p_k) = \prod\limits_{i=0}^k{p_i}$, где $p_k$ - текущее простое, которым прокалываем, $p_0 = 2$.
Шаг прокалывания - $SieveStep(p_k) = p_k \times 2$.
Количество непроколотых пар на повторе - $PairsCount(p_k) = \prod\limits_{i=1}^k{(p_i - 2)}$.
Число шагов прокалывания - это длина повтора, деленая на шаг прокалывания, $SieveSteps(p_k) = \frac{PeriodLen(p_k)}{SieveStep(p_k)} = \prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}$, $p_1 = 3$.
Средняя величина перешагивания - количество непроколотых пар, деленое на число шагов прокалывания, $OverstepLen(p_k) = \frac{PairsCount(p_k)}{SieveSteps(p_k)} = \frac{\prod\limits_{i=1}^k{p_i - 2}}{\prod\limits_{i=1}^{k - 1}{p_i}}$.

Так?

[Delvistar]

r-aax в сообщении #342161 писал(а):

Так?

Если Вы вложили в количество пар на повторе вот это:
$3$- количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5.

$1$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7:
$ 3 \times 7 - \frac{\frac{2}{7}}{3 \times 7} = 15 $

$2$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11:
$ 15 \times 11 - \frac{\frac{2}{11}}{15 \times 11} = 135 $

$3$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11,13:
$ 135 \times 13 - \frac{\frac{2}{13}}{135 \times 13} = 1485 $

$4$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11,13,17:
$ 1485 \times 17 - \frac{\frac{2}{17}}{1485 \times 17} = 22 275 $

$5$. количество пар на повторе при прокалывании чисел делящихся на 3,5,7,11,13,17,19:
$ 22 275 \times 19 - \frac{\frac{2}{19}}{22 275 \times 19} = 378 675 $

При этом мы видим ряд операций по прокалыванию пар(если показывать начиная с прокалывания чисел делящихся на 7):
$\frac{2}{7},\frac{2}{11},\frac{2}{13},\frac{2}{17},\frac{2}{19},...\frac{2}{n},$

Здесь, для простоты я ввёл понятие "повторы". А так вообще, у меня не так. Вид натурального ряда не чётных чисел (решета Эратосфена) после прокалывания чисел делящихся на n-ое множество чисел, я назвал Матрица ряда N.

К примеру, после прокалывания чисел делящихся на 3,5,7,11,13 - у меня названо Матрицей ряда 3-5-7-11-13 (сокр.3-13). А эти повторы уже у меня названы как "внутренние шаги Матрицы ряда".

И ещё, как мне кажется, здесь многие желают узнать о множестве простых чисел-близнецов. Но, у меня это и так и не так. Просто надо забыть про близнецов. Задача одна, у нас есть бесконечное множество пар, после прокалывания чисел делящихся на 3, и нам необходимо узнать, сколько пар останется в итоге, после бесконечного множества операций по прокалыванию. А как эти оставшиеся пары будут называться, нам не надо заботиться. Нам важно сколько станется пар! Хотя мы знаем, что оставшееся множество и это будет множеством близнецов. Что бы не запутывать себя, мы должны только узнать о пределе операций по прокалыванию пар.

[r-aax]

Ваши числа совпадают с приведенной формулой о количество непроколотых пар на повторе...

[Delvistar]

(Оффтоп)

r-aax в сообщении #342205 писал(а):

Ваши числа совпадают с приведенной формулой о количество непроколотых пар на повторе...

Как я считаю, иногда лучше повториться несколько раз, что бы не было противоречий.

[r-aax]

Delvistar в сообщении #342190 писал(а):

мы должны только узнать о пределе операций по прокалыванию пар.

и как к этому пределу перейти?

[Delvistar]

r-aax в сообщении #342290 писал(а):

и как к этому пределу перейти?

Есть $2$ варианта решения задачи!

$Вариант 1$.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3$, мы обозначим как $A_{a}$. Это есть начальное бесконечное множество.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3,5$, мы обозначим как $A_{1}$.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3,5,7$, мы обозначим как $A_{2}$.

Бесконечное множество, которое образовалось после прокалывания не чётных натуральных чисел (решета Эратосфена) делящихся на $3,5,7,11$, мы обозначим как $A_{3}$.

И так бесконечно далее.
Процесс прокалывания (убирания пар от $A_{a}$) идёт в такой последовательности $\frac{\frac{2}{n}}{A_{n}}$.
Процесс сохранения (накопление не проколотых пар от $A_{a}$) идёт в такой последовательности $\frac{\frac{n-2}{n}}{A_{n}}$.

Вот нам необходимо найти предел такой последовательности:

$\frac{\frac{5-2}{5}}{A_{1}},\frac{\frac{7-2}{7}}{A_{2}},\frac{\frac{11-2}{11}}{A_{3}},...\frac{\frac{n-2}{n}}{A_{n}}$

При этом мы знаем, что в таких последовательностях как:

а) $\frac{\frac{5-2}{5}}{7},\frac{\frac{7-2}{7}}{7},\frac{\frac{11-2}{11}}{7},...\frac{\frac{n-2}{n}}{7}$

б) $\frac{\frac{5-2}{5}}{12},\frac{\frac{7-2}{7}}{12},\frac{\frac{11-2}{11}}{12},...\frac{\frac{n-2}{n}}{12}$

Пределами служит знаменатель для $\frac{n-2}{n}$.У нас это 7 и 12.

А в нашем случае с парами, то предел, это бесконечное множество $A_{n}$.

Разве в таком примере есть шанс множеству быть конечным?!

[Продолжение, в следующем сообщении!